Logical Reasoning Ch6: Quantifier Logic — Negation and Conjugation of “All” and “Any”

“모든 사람은 죽는다.” “어떤 새는 날지 못한다.” — 이런 문장들은 **양화사(quantifier)**를 포함하고 있습니다. 양화사는 “얼마나 많은 대상에 대해 이야기하는가”를 나타내는 논리적 장치입니다. 양화사 논리를 이해하면 복잡한 추론 문제에서 올바른 부정을 찾고, 논리적 오류를 정확하게 짚어낼 수 있습니다.

두 가지 핵심 양화사

전칭 양화사 (Universal Quantifier, ∀)

기호: ∀ (“for all”, 모든)

∀x P(x): “모든 x에 대해 P(x)가 성립한다”

자연어 표현:

“모든 ~은 ~이다”
“~은 항상 ~이다”
“어떤 ~도 (부정문에서)”

예:

∀x (x가 사람 → x는 죽는다) = “모든 사람은 죽는다”
“모든 소수는 1보다 크다”

존재 양화사 (Existential Quantifier, ∃)

기호: ∃ (“there exists”, 어떤/존재한다)

∃x P(x): “P(x)가 성립하는 x가 적어도 하나 존재한다”

자연어 표현:

“어떤 ~은 ~이다”
“~한 ~가 있다”
“적어도 하나의 ~은 ~이다”

예:

∃x (x가 새 ∧ x는 날지 못한다) = “날지 못하는 새가 있다”
“어떤 정수는 음수이다”

양화사 명제의 부정: 핵심 규칙

이것이 시험에서 가장 자주 틀리는 부분입니다.

전칭 명제의 부정

¬(∀x P(x)) = ∃x ¬P(x)

“모든 x에 대해 P(x)” 의 부정은 “P(x)가 아닌 x가 존재한다”

예:

원래 명제: “모든 학생이 시험을 통과했다”
부정: “시험을 통과하지 못한 학생이 있다” (적어도 1명)

틀린 부정: “어떤 학생도 시험을 통과하지 못했다” → 이것은 너무 강한 부정

존재 명제의 부정

¬(∃x P(x)) = ∀x ¬P(x)

“P(x)인 x가 존재한다”의 부정은 “모든 x에 대해 P(x)가 아니다”

예:

원래 명제: “날지 못하는 새가 있다”
부정: “모든 새는 날 수 있다”

틀린 부정: “어떤 새는 날 수 있다” → 원래 명제와 모순이 아님 (둘 다 참 가능)

자연어에서의 양화사 변환

시험에서는 기호 대신 자연어로 출제되므로, 다음 변환 표를 숙지하세요.

전칭 표현

자연어	논리 구조
”모든 A는 B이다”	∀x (Ax → Bx)
“A는 항상 B이다”	∀x (Ax → Bx)
“A이면 반드시 B이다”	∀x (Ax → Bx)
“A이되 B가 아닌 것은 없다”	∀x (Ax → Bx)

존재 표현

자연어	논리 구조
”어떤 A는 B이다”	∃x (Ax ∧ Bx)
“B인 A가 있다”	∃x (Ax ∧ Bx)
“적어도 하나의 A는 B이다”	∃x (Ax ∧ Bx)

주의: “모든 A는 B이다”는 A → B (조건)이지만, “어떤 A는 B이다”는 A ∧ B (접속사)!

부정 실전 연습

문제 1

다음의 올바른 부정을 고르시오. “모든 회원은 회비를 납부했다.”

① 어떤 회원도 회비를 납부하지 않았다 ② 회비를 납부하지 않은 회원이 있다 ③ 어떤 회원은 회비를 납부했다 ④ 회비를 납부한 회원이 있다

풀이: ∀x (회원(x) → 납부(x)) 의 부정 = ∃x (회원(x) ∧ ¬납부(x)) = “납부하지 않은 회원이 있다”

정답: ②

문제 2

다음의 올바른 부정을 고르시오. “일부 직원은 초과 근무를 했다.”

① 모든 직원이 초과 근무를 했다 ② 어떤 직원도 초과 근무를 하지 않았다 ③ 초과 근무를 하지 않은 직원이 있다 ④ 일부 직원은 초과 근무를 하지 않았다

풀이: ∃x (직원(x) ∧ 초과근무(x)) 의 부정 = ∀x (직원(x) → ¬초과근무(x)) = “모든 직원은 초과 근무를 하지 않았다” = “어떤 직원도 초과 근무를 하지 않았다”

정답: ②

삼단논법과 양화사

전칭 명제를 이용한 고전적 삼단논법:

대전제: 모든 A는 B이다 [∀x (Ax → Bx)] 소전제: c는 A이다 [Ac] 결론: 따라서 c는 B이다 [Bc]

예:

대전제: 모든 포유류는 심장이 있다
소전제: 고래는 포유류이다
결론: 따라서 고래는 심장이 있다

역 삼단논법 오류 (Invalid Syllogism)

다음은 논리적으로 오류입니다:

대전제: 모든 A는 B이다 소전제: c는 B이다 결론: 따라서 c는 A이다 ← 오류! (전건 긍정의 오류와 다름)

예:

모든 개는 동물이다
고양이는 동물이다
따라서 고양이는 개이다 ← 거짓!

이것은 **긍정의 후건 오류(Affirming the Consequent)**입니다.

양화사 부정 요약표

¬(모든 A는 B이다)   = 어떤 A는 B가 아니다 (B 아닌 A 존재)
¬(어떤 A는 B이다)   = 모든 A는 B가 아니다 (B인 A 없음)
¬(A이면 B이다)      = A이지만 B가 아닌 경우가 있다

LSAT 스타일 팁: 명제의 올바른 부정을 묻는 문제에서 “모든” ↔ “어떤 ~은 아닌”의 변환을 정확히 아는 것이 핵심입니다.

양화사 논리는 철학, 수학, 법학(LSAT), 언어학 모두에서 핵심 도구입니다. “모든”의 부정은 “어떤 ~은 아닌”이고, “어떤”의 부정은 “모든 ~은 아닌”임을 절대 잊지 마세요. 다음 편(Ch7)에서는 **귀류법(Proof by Contradiction)**과 수학적 귀납법 — 증명의 두 가지 강력한 무기를 다룹니다.

Oiyo