선형대수학 — 2강: 행렬식, 역행렬, 선형 독립

행렬식 (Determinant)

행렬식의 의미:
→ 정방 행렬 A에 대응하는 스칼라 값
→ det(A) 또는 |A|로 표기
→ 역행렬 존재 여부 판별에 핵심

2×2 행렬식:
A = [a  b]
    [c  d]

det(A) = ad - bc

기하학적 의미:
→ 2차원: 두 열 벡터가 이루는 평행사변형의 면적
→ 3차원: 세 열 벡터가 이루는 평행육면체의 부피

역행렬 존재 조건:
→ det(A) ≠ 0 이면 역행렬 존재 (가역 행렬)
→ det(A) = 0 이면 역행렬 없음 (특이 행렬)

2×2 행렬식 계산

공식: det(A) = ad - bc

예시 1:
A = [3  4]
    [2  5]
det(A) = 3×5 - 4×2 = 15 - 8 = 7

예시 2:
A = [1  2]
    [2  4]
det(A) = 1×4 - 2×2 = 4 - 4 = 0
→ 특이 행렬, 역행렬 없음

2×2 역행렬:
A = [a  b]   →   A⁻¹ = (1/det(A)) × [d  -b]
    [c  d]                             [-c  a]

A = [3  4]   →   det = 7
    [2  5]
A⁻¹ = (1/7) × [5  -4] = [5/7   -4/7]
               [-2  3]   [-2/7   3/7]

3×3 행렬식 (사루스 법칙)

3×3 행렬:
A = [a₁₁  a₁₂  a₁₃]
    [a₂₁  a₂₂  a₂₃]
    [a₃₁  a₃₂  a₃₃]

사루스 (Sarrus) 법칙:
→ 대각선 방향 곱의 합 - 역대각선 방향 곱의 합

양의 항 (왼쪽→오른쪽 대각선):
+ a₁₁a₂₂a₃₃
+ a₁₂a₂₃a₃₁
+ a₁₃a₂₁a₃₂

음의 항 (오른쪽→왼쪽 대각선):
- a₁₃a₂₂a₃₁
- a₁₁a₂₃a₃₂
- a₁₂a₂₁a₃₃

예시:
A = [1  2  3]
    [4  5  6]
    [7  8  9]

양의 항: (1×5×9) + (2×6×7) + (3×4×8) = 45 + 84 + 96 = 225
음의 항: (3×5×7) + (1×6×8) + (2×4×9) = 105 + 48 + 72 = 225
det(A) = 225 - 225 = 0 (특이 행렬)

행렬식의 성질

1. 행 교환: 두 행 교환 시 부호 변경
   det(B) = -det(A)

2. 행의 배수: 한 행을 k배 하면
   det(kA에서 그 행) = k·det(A)

3. 선형성: 한 행이 두 벡터의 합이면
   det 분리 가능

4. 동일한 두 행: det = 0

5. 전치: det(Aᵀ) = det(A)

6. 곱의 행렬식:
   det(AB) = det(A) × det(B)

7. 역행렬:
   det(A⁻¹) = 1/det(A)

선형 독립과 종속 (Linear Independence/Dependence)

선형 독립 (Linearly Independent):
→ 벡터 집합 {v₁, v₂, ..., vₙ}이 선형 독립
→ c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0
   이면 반드시 c₁ = c₂ = ... = cₙ = 0

선형 종속 (Linearly Dependent):
→ 위 방정식에서 모든 cᵢ가 0이 아닌 해 존재
→ 하나의 벡터가 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현 가능

직관:
→ 선형 독립: 각 벡터가 새로운 방향 정보를 제공
→ 선형 종속: 중복 정보 존재 (차원 증가에 기여 안 함)

예시:
v₁ = [1, 0], v₂ = [0, 1], v₃ = [2, 3]

v₃ = 2v₁ + 3v₂ → {v₁, v₂, v₃}는 선형 종속
{v₁, v₂}는 선형 독립

행렬식과의 관계:
→ 열 벡터들이 선형 종속 ↔ det = 0
→ 열 벡터들이 선형 독립 ↔ det ≠ 0

벡터 공간 (Vector Space)

벡터 공간의 정의:
→ 덧셈과 스칼라 곱에 닫혀 있는 집합

예시:
→ ℝⁿ: n차원 실수 벡터 공간
→ 다항식 집합 P₂: {a₀ + a₁x + a₂x²}
→ 행렬 집합 M₂ₓ₂: 2×2 행렬 전체

부분 공간 (Subspace):
→ 벡터 공간의 부분 집합이 자체로도 벡터 공간
→ 조건:
  1. 영 벡터 포함
  2. 덧셈에 닫힘
  3. 스칼라 곱에 닫힘

기저 (Basis)와 차원 (Dimension)

기저의 정의:
→ 벡터 공간을 생성(span)하는 선형 독립 벡터 집합
→ 조건: 선형 독립 + 공간 전체 생성

ℝ² 의 표준 기저:
e₁ = [1, 0], e₂ = [0, 1]
→ 모든 ℝ² 벡터는 e₁, e₂의 선형 결합

차원 (Dimension):
→ 기저의 벡터 수
→ ℝⁿ 의 차원 = n
→ 3D 공간 = 차원 3

생성(Span):
→ {v₁, ..., vₖ}의 모든 선형 결합으로 만들 수 있는 집합
→ Span(v₁, ..., vₖ) = {c₁v₁ + ... + cₖvₖ : cᵢ ∈ ℝ}

크래머 공식 (Cramer’s Rule)

연립방정식 Ax = b의 해 (det(A) ≠ 0):
→ 각 변수 xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)

Aᵢ: A에서 i번째 열을 b로 교체한 행렬

예시: Ax = b
[2  1] [x₁]   [5]
[1  3] [x₂] = [7]

det(A) = 2×3 - 1×1 = 5

A₁ = [5  1],  det(A₁) = 5×3 - 1×7 = 15 - 7 = 8
     [7  3]

A₂ = [2  5],  det(A₂) = 2×7 - 5×1 = 14 - 5 = 9
     [1  7]

x₁ = 8/5 = 1.6
x₂ = 9/5 = 1.8

자주 묻는 질문

Q. 행렬식이 0이면 왜 역행렬이 없나요? A. 기하학적으로 행렬식은 변환 후 부피(2D에서 면적)를 나타냅니다. 행렬식이 0이면 변환이 차원을 낮추어(평면을 선으로 압축 등) 이 변환을 되돌리는(역변환) 것이 불가능합니다.

Q. 선형 독립을 실용적으로 어떻게 확인하나요? A. 벡터들을 열(또는 행)로 하는 행렬을 만들어 가우스 소거법을 적용합니다. 영행이 나오지 않으면(행 사다리꼴에서 모든 행에 피벗이 있으면) 선형 독립입니다. 또는 행렬식을 계산하여 0이 아니면 열 벡터들이 선형 독립입니다.

OIYO 편집부