논리추론 Ch5: 필요조건·충분조건·명제의 역·이·대우 완전 정복

논리추론에서 명제의 **역(逆)·이(裏)·대우(對偶)**는 논리학과 수학 시험 모두에서 핵심 개념입니다. 특히 대우는 원 명제와 항상 동치(진리값이 같음)이므로, 직접 증명이 어려운 경우 대우를 이용한 간접 증명이 매우 강력한 도구가 됩니다.

기본 명제: p → q

논리학에서 가장 기본적인 명제 형태는 **“p이면 q이다 (p → q)“**입니다.

예: “비가 오면(p) 땅이 젖는다(q).”

원 명제 p → q로부터 세 가지 관련 명제를 도출할 수 있습니다.

명칭	기호	형태	원 명제와의 관계
역(逆, Converse)	q → p	”q이면 p이다”	동치 아님
이(裏, Inverse)	¬p → ¬q	”p가 아니면 q가 아니다”	동치 아님
대우(對偶, Contrapositive)	¬q → ¬p	”q가 아니면 p가 아니다”	동치

p → q    ≡    ¬q → ¬p    (원 명제 ≡ 대우)
q → p    ≡    ¬p → ¬q    (역 ≡ 이)

중요: 원 명제와 그 역은 반드시 동치가 아닙니다.

원 명제: “강아지이면(p) 동물이다(q).” (p → q, 참)

→ 원 명제가 참일 때, 역과 이는 항상 참이 아닐 수 있음. → 원 명제가 참이면 대우도 반드시 참.

명제 p → q 에서:

역할	정의	예시
p는 q의 충분조건	p이면 q가 보장됨	”강아지”이면 반드시 “동물”
q는 p의 필요조건	q가 아니면 p도 아님	”동물”이 아니면 “강아지”도 아님

p ↔ q (p는 q의 필요충분조건, p if and only if q):

예: “x = 2이면 x² = 4이다” (참) 그런데 “x² = 4이면 x = 2이다” (거짓 — x = -2도 가능) 따라서 “x = 2”는 “x² = 4”의 충분조건이지만 필요충분조건은 아님.

p → q 일 때:
  p는 q의 [충분]조건   (p면 q가 충분히 보장)
  q는 p의 [필요]조건   (q가 없으면 p도 없으니 q는 필요)

“모든 철학자는 논리를 공부한다”가 참이라고 할 때, 다음 중 반드시 참인 것은?

① 논리를 공부하는 사람은 모두 철학자이다 ② 논리를 공부하지 않으면 철학자가 아니다 ③ 철학자가 아니면 논리를 공부하지 않는다 ④ 논리를 공부하는 철학자가 있다

풀이: 원 명제: “철학자(p) → 논리를 공부한다(q)” [참]

정답: ②

다음 중 옳은 것은?

① “x = 3이다”는 “x² = 9이다”의 필요충분조건이다 ② “x > 0이다”는 “x² > 0이다”의 충분조건이다 ③ “삼각형이다”는 “다각형이다”의 필요조건이다

풀이:

①: x = 3 → x² = 9 (참), x² = 9 → x = 3 (거짓, x = -3도 가능) → 필요충분조건 아님
②: x > 0 → x² > 0 (참) → x > 0은 x² > 0의 충분조건 ✓ But: x² > 0 → x > 0? 거짓 (x = -1도 x² = 1 > 0) → 필요조건은 아님
③: “삼각형이다” → “다각형이다” (참) → 삼각형은 다각형의 충분조건 “다각형이다”는 “삼각형이다”의 필요조건 ✓

정답: ② 또는 ③ (문제 상황에 따라 복수 정답 가능)

p → q를 직접 증명하기 어려울 때, 대우 ¬q → ¬p를 증명합니다.

예: “x²이 홀수이면 x도 홀수이다”를 증명하라.

직접 증명: 어렵다 (x²이 홀수인 모든 x를 찾기 어려움)

대우로 증명: “x가 짝수이면 x²도 짝수이다”

x = 2k로 가정하면, x² = (2k)² = 4k² = 2(2k²) → x²는 짝수 (증명 완료!)

대우 ¬q → ¬p가 참이면 원 명제 p → q도 참 ✓

명제가 여러 조건을 포함할 때:

원 명제: “A이고 B이면 C이다” [(A ∧ B) → C]

드모르간 법칙 주의: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B

역·이·대우는 명제 논리의 핵심입니다. 특히 대우는 원 명제와 항상 동치라는 사실은 수학 증명부터 LSAT 논리 문제, 수능 수학까지 광범위하게 활용됩니다. 다음 편(Ch6)에서는 양화사 논리(모든 ~, 어떤 ~)와 전칭·존재 명제의 부정법을 다룹니다.