논리강좌 Ch4: 연쇄 추론과 삼단논법 — 조건문 사슬을 끊는 법

Ch3: ∧∨ 조합 조건문에서 복합 전건·후건을 다루는 법을 배웠습니다. 이번 Ch4에서는 여러 조건문이 사슬처럼 연결된 상황을 다룹니다. 공기업·공무원 시험에서 “다음 전제들이 모두 참일 때, 반드시 참인 결론은?”이라는 형태로 자주 출제되는 연쇄 추론 유형입니다.

1. 가언 삼단논법 (Hypothetical Syllogism)

가장 기본적이고 중요한 연쇄 추론:

전제 1: A → B
전제 2: B → C
결론:   A → C

A가 참이면 B가 참이고, B가 참이면 C가 참이므로, A가 참이면 C도 참이다.

이것이 가언 삼단논법(= 연쇄추론, Hypothetical Syllogism)입니다.

확장: 더 긴 사슬

A → B → C → D → E

여기서 A가 참이면 E가 반드시 참입니다. 사슬 어느 고리도 끊기지 않는 한.

대우와 함께 사용

대우는 원 명제와 동치이므로, 역방향에서도 추론이 가능합니다:

원명제: A → B → C
대우:   ¬C → ¬B → ¬A

¬C이면 ¬A이다. 이것도 완전히 타당한 추론입니다.

2. 전건 긍정(Modus Ponens) vs 후건 부정(Modus Tollens)

연쇄 추론에서 가장 많이 쓰이는 두 가지 기본 추론 규칙입니다.

Modus Ponens (전건 긍정)

전제: A → B
전제: A (전건이 참)
결론: B (후건도 반드시 참)

A가 참이므로, B도 참이다.

Modus Tollens (후건 부정)

전제: A → B
전제: ¬B (후건이 거짓)
결론: ¬A (전건도 반드시 거짓)

B가 거짓이므로, A도 거짓이다 (대우 적용).

잘못된 추론 2가지 (시험 단골 함정)

잘못된 추론	이름	형식	왜 틀렸나
후건 긍정	Affirming the Consequent	A→B, B이면 A?	거짓: B가 다른 이유로도 참일 수 있음
전건 부정	Denying the Antecedent	A→B, ¬A이면 ¬B?	거짓: B가 다른 이유로도 참일 수 있음

3. 선언 삼단논법 (Disjunctive Syllogism)

전제: A ∨ B
전제: ¬A (A가 거짓)
결론: B

“A 또는 B이다. 그런데 A가 아니다. 따라서 B이다.”

이것은 아주 강력한 추론 도구입니다. 조건문이 아닌 **선언문(∨)**이 있을 때 사용합니다.

주의: ∨는 포함적 OR

논리에서 ∨는 기본적으로 포함적 OR (inclusive OR)입니다. A와 B 둘 다 참인 경우도 포함합니다. “A이거나 B이다”는 “A만, B만, 또는 둘 다” 모두 가능합니다.

시험에서 “A가 아니거나 B가 아니다 (¬A ∨ ¬B)“처럼 나올 경우:

이것은 “A이고 B인 경우만 제외”를 의미합니다
즉 ¬(A ∧ B)와 동치

4. 실전 연쇄 추론 문제

문제 1 (기본형)

다음 전제들이 모두 참일 때, 반드시 참인 결론은?

① 예산이 통과되면(A) 인력을 채용한다(B). ② 인력을 채용하면(B) 프로젝트를 시작한다(C). ③ 예산이 통과되었다(A).

풀이:

①, ②에 의해 연쇄: A → B → C, 즉 A → C

③에서 A=T → Modus Ponens:

결론: 프로젝트를 시작한다(C). ✓

문제 2 (역방향 적용)

① 회의에 참석하면(A) 보고서를 제출한다(B). ② 보고서를 제출하면(B) 승인을 받는다(C). ③ 승인을 받지 못했다(¬C).

풀이:

대우 연쇄: ¬C → ¬B → ¬A

③ ¬C가 참 → Modus Tollens 연속 적용:

결론: 회의에 참석하지 않았다(¬A). ✓

문제 3 (복합형 ∧∨ 포함)

① (A∨B) → C ② C → (D∧E) ③ B가 참이다.

풀이:

① Ch3에서 배운 동치: (A∨B)→C ≡ (A→C)∧(B→C)

③ B=T → ①에서 B→C 적용 → C=T

② C→(D∧E), C=T → Modus Ponens: D∧E=T

D∧E=T → D=T AND E=T

결론: D도 참이고 E도 참이다. ✓

문제 4 (국책사업 유형 — 실전 고난도)

① 국책사업이 선정되면(A) 예산을 편성하고(B) 담당 부서를 설치한다(C). ② 담당 부서가 설치되면(C) 공무원을 추가로 채용한다(D). ③ 예산을 편성하면(B) 기획재정부에 보고한다(E). ④ 공무원 추가 채용이 없었다(¬D).

풀이:

①에서 Ch3 패턴 3: A→(B∧C) ≡ (A→B)∧(A→C)

필요한 사슬: A→C→D

④ ¬D → Modus Tollens에서 ¬C

¬C → ①의 대우: (¬B∨¬C)→¬A, ¬C가 참이므로:

결론: 국책사업이 선정되지 않았다(¬A). ✓

또한: ¬A → ¬B (대우), ¬B → ¬E (③의 대우)

추가 결론: 기획재정부에 보고하지 않았다(¬E). ✓

5. 귀류법 (Proof by Contradiction)

연쇄 추론의 응용 기법. 결론이 거짓이라고 가정하면 전제와 모순이 발생함을 보여 결론이 참임을 증명하는 방법입니다.

귀류법의 구조

결론 P가 참임을 증명하려면:
1. P가 거짓이라고 가정 (¬P 가정)
2. 전제들과 ¬P를 함께 적용
3. 전제와 모순(A∧¬A)을 도출
4. ∴ ¬P는 거짓 → P는 참

귀류법 예시

전제들: ① A → B ② B → ¬A (B이면 A가 아니다) ③ A가 참이다.

결론 후보: “A와 B가 동시에 참일 수 없다” — 증명해보자

귀류법으로: A와 B 모두 참이라고 가정(¬결론 가정)

③에서 A=T → ①에서 B=T (OK)

B=T → ②에서 ¬A=T (A=F)

그런데 ③에서 A=T였음. A=T이고 A=F → 모순!

따라서 “A와 B가 동시에 참일 수 없다”는 결론이 참으로 증명됩니다. ✓

6. 진리표 없이 빠르게 추론하는 요령

시험장에서 진리표를 전부 그릴 시간은 없습니다. 빠른 추론을 위한 실전 전략:

전략 1: 참인 것(Given)에서 시작하라

전제 중 특정 명제가 참으로 주어지면, 그것을 출발점으로 Modus Ponens를 연속 적용합니다.

전략 2: 거짓인 것(Given)에서 역방향으로 가라

특정 명제가 거짓으로 주어지면, 대우(Modus Tollens)를 연속 적용합니다.

전략 3: 사슬을 그려라

복잡한 문제는 조건문들을 사슬로 연결해서 시각화합니다:

A ──→ B ──→ C ──→ D
↑         ↑
¬D ──→ ¬C ──→ ¬A (대우 방향)

전략 4: ∧/∨는 즉시 분해하라

(A∨B)→C를 보면 즉시 “A→C이고 B→C”로 분해. A→(B∧C)를 보면 즉시 “A→B이고 A→C”로 분해.

7. 자주 출제되는 실전 패턴 총정리

상황	올바른 추론
A→B, A=T	B=T (전건 긍정)
A→B, B=F	A=F (후건 부정, 대우)
A→B, B=T	A의 진리값 불명 (후건 긍정 = 오류)
A→B, A=F	B의 진리값 불명 (전건 부정 = 오류)
A→B→C, A=T	C=T (연쇄)
A→B→C, C=F	A=F (역방향 연쇄)
A∨B, ¬A	B=T (선언 삼단논법)

핵심 요약

가언 삼단논법: A→B, B→C → A→C (사슬 연결)
Modus Ponens: A→B, A=T → B=T (전건 긍정)
Modus Tollens: A→B, B=F → A=F (후건 부정/대우)
선언 삼단논법: A∨B, ¬A → B=T
귀류법: ¬P 가정 후 모순 도출 → P=T
금지 추론: 후건 긍정(오류), 전건 부정(오류)

다음 편 Ch5: 필요조건과 충분조건 완전 정리에서는 “A→B에서 B는 A의 필요조건, A는 B의 충분조건”이라는 표현을 조건문으로 변환하는 법과, 실제 시험에서 가장 많이 혼동하는 필충조건 오개념을 다룹니다.

Oiyo