論理講座: 連鎖推論と三段論法 — 条件文の連鎖を断ち切る方法

Ch3: ∧∨の組み合わせ条件文では、複合前件・後件の扱い方を学びました。今回のCh4では、複数の条件文が鎖のようにつながった状況を扱います。公企業・公務員試験で「次の前提がすべて真であるとき、必ず真である結論は?」という形式でよく出題される連鎖推論のタイプです。

1. 仮言三段論法 (Hypothetical Syllogism)

最も基本的かつ重要な連鎖推論:

• 前提1: A → B
• 前提2: B → C
• 結論: A → C

Aが真ならBが真であり、Bが真ならCが真である。したがって、Aが真ならCも真である。

これが仮言三段論法(= 連鎖推論、Hypothetical Syllogism)です。

拡張: より長い鎖

A → B → C → D → E

ここでAが真であれば、Eは必ず真になります。鎖のどの環も切れていない限り。

対偶と併用する

対偶は元の命題と同値であるため、逆方向でも推論が可能です:

• 元の命題: A → B → C
• 対偶: ¬C → ¬B → ¬A

¬Cならば¬Aである。 これも完全に妥当な推論です。

---

2. 前件肯定(Modus Ponens) vs 後件否定(Modus Tollens)

連鎖推論において最もよく使われる二つの基本推論規則です。

Modus Ponens (前件肯定)

• 前提: A → B
• 前提: A (前件が真)
• 結論: B (後件も必ず真)

Aが真であるから、Bも真である。

Modus Tollens (後件否定)

• 前提: A → B
• 前提: ¬B (後件が偽)
• 結論: ¬A (前件も必ず偽)

Bが偽であるから、Aも偽である(対偶を適用)。

誤った推論2種類(試験の定番の罠)

誤った推論	名称	形式	なぜ誤りか
後件肯定	Affirming the Consequent	A→B、Bであれば A?	偽: Bは他の理由でも真になりうる
前件否定	Denying the Antecedent	A→B、¬Aであれば ¬B?	偽: Bは他の理由でも真になりうる

---

3. 選言三段論法 (Disjunctive Syllogism)

• 前提: A ∨ B
• 前提: ¬A (Aが偽)
• 結論: B

「AまたはBである。ところがAではない。したがってBである。」

これは非常に強力な推論の道具です。条件文ではなく選言文(∨)があるときに用います。

注意: ∨は包含的OR

論理学において∨は基本的に包含的OR(inclusive OR)です。AとBの両方が真である場合も含みます。「AまたはBである」は「Aのみ、Bのみ、あるいは両方とも」すべて成り立ちます。

試験で「AでないかBでない(¬A ∨ ¬B)」のように出てきた場合:

• これは「AでありかつBである場合のみ除外」を意味します
• つまり¬(A ∧ B)と同値です

---

4. 実戦連鎖推論問題

問題1(基本形)

次の前提がすべて真であるとき、必ず真である結論は?

① 予算が通過すれば(A)人員を採用する(B)。 ② 人員を採用すれば(B)プロジェクトを開始する(C)。 ③ 予算が通過した(A)。

解説:

①、②により連鎖: A → B → C、すなわち A → C

③でA=T → Modus Ponens:

結論: プロジェクトを開始する(C)。✓

問題2(逆方向の適用)

① 会議に出席すれば(A)報告書を提出する(B)。 ② 報告書を提出すれば(B)承認を受ける(C)。 ③ 承認を受けなかった(¬C)。

解説:

対偶連鎖: ¬C → ¬B → ¬A

③ ¬Cが真 → Modus Tollensを連続適用:

結論: 会議に出席しなかった(¬A)。✓

問題3(複合形∧∨を含む)

① (A∨B) → C ② C → (D∧E) ③ Bが真である。

解説:

① Ch3で学んだ同値: (A∨B)→C ≡ (A→C)∧(B→C)

③ B=T → ①でB→Cを適用 → C=T

② C→(D∧E)、C=T → Modus Ponens: D∧E=T

D∧E=T → D=T かつ E=T

結論: Dも真であり、Eも真である。✓

問題4(国策事業タイプ — 実戦上級)

① 国策事業が選定されれば(A)予算を編成し(B)担当部署を設置する(C)。 ② 担当部署が設置されれば(C)公務員を追加採用する(D)。 ③ 予算を編成すれば(B)企画財政部に報告する(E)。 ④ 公務員の追加採用がなかった(¬D)。

解説:

①でCh3のパターン3: A→(B∧C) ≡ (A→B)∧(A→C)

必要な連鎖: A→C→D

④ ¬D → Modus Tollensで¬C

¬C → ①の対偶: (¬B∨¬C)→¬A、¬Cが真であるから:

結論: 国策事業は選定されなかった(¬A)。✓

さらに: ¬A → ¬B(対偶)、¬B → ¬E(③の対偶)

追加の結論: 企画財政部に報告しなかった(¬E)。✓

---

5. 帰謬法 (Proof by Contradiction)

連鎖推論の応用技法。結論が偽であると仮定すると前提と矛盾が生じることを示し、結論が真であることを証明する方法です。

帰謬法の構造

結論Pが真であることを証明するには:

1. Pが偽であると仮定 (¬Pを仮定)
2. 前提と¬Pを併せて適用
3. 前提との矛盾(A∧¬A)を導出
4. ∴ ¬Pは偽 → Pは真

帰謬法の例

前提: ① A → B ② B → ¬A (BならばAではない) ③ Aが真である。

結論候補: 「AとBが同時に真であることはできない」――証明してみよう

帰謬法で: AとBが両方とも真であると仮定(¬結論を仮定)

③でA=T → ①でB=T (OK)

B=T → ②で¬A=T (A=F)

ところが③ではA=Tであった。A=TかつA=F → 矛盾!

したがって「AとBが同時に真であることはできない」という結論が真であると証明されます。✓

---

6. 真理値表なしで素早く推論するコツ

試験場で真理値表をすべて描く時間はありません。素早い推論のための実戦戦略:

戦略1: 真であるもの(Given)から始めよ

前提の中で特定の命題が真として与えられていれば、それを出発点にModus Ponensを連続適用します。

戦略2: 偽であるもの(Given)から逆方向へ進め

特定の命題が偽として与えられていれば、対偶(Modus Tollens)を連続適用します。

戦略3: 連鎖を描け

複雑な問題は、条件文を鎖のようにつなげて可視化します:

• 元の連鎖：A → B → C → D
• 対偶方向：¬D → ¬C → ¬B → ¬A — 末尾を否定すると、連鎖をさかのぼって前のものもすべて否定される

戦略4: ∧/∨は即座に分解せよ

(A∨B)→Cを見たら即座に「A→CかつB→C」に分解。 A→(B∧C)を見たら即座に「A→BかつA→C」に分解。

---

7. よく出題される実戦パターン総整理

状況	正しい推論
A→B、A=T	B=T (前件肯定)
A→B、B=F	A=F (後件否定、対偶)
A→B、B=T	Aの真理値は不明 (後件肯定 = 誤謬)
A→B、A=F	Bの真理値は不明 (前件否定 = 誤謬)
A→B→C、A=T	C=T (連鎖)
A→B→C、C=F	A=F (逆方向連鎖)
A∨B、¬A	B=T (選言三段論法)

---

核心要約

1. 仮言三段論法: A→B、B→C → A→C (連鎖接続)
2. Modus Ponens: A→B、A=T → B=T (前件肯定)
3. Modus Tollens: A→B、B=F → A=F (後件否定/対偶)
4. 選言三段論法: A∨B、¬A → B=T
5. 帰謬法: ¬Pを仮定した後に矛盾を導出 → P=T
6. 禁止推論: 後件肯定(誤謬)、前件否定(誤謬)

---

次回Ch5: 必要条件と十分条件完全整理では、「A→BにおいてBはAの必要条件、AはBの十分条件」という表現を条件文に変換する方法と、実際の試験で最も混同されやすい必要十分条件の誤概念を扱います。