論理講座 — ∧∨ 組合条件文完全征服 — 複合前件・後件のすべて
これまでに命題と逆・裏・対偶を通じて条件文 A→B の構造を学び、記号論理演算子では ∧(AND)、∨(OR)、¬(NOT) の基本真理表を習得しました。
ここからは Ch3 で、この2つを結合した複合条件文を扱います。前件（前の部分）や後件（後ろの部分）に ∧ や ∨ が含まれる形態は、公企業・公務員の言語論理で最も頻出のタイプです。混同しやすい部分を段階ごとに明確に整理します。
複合条件文の4つの核心パターン
条件文の前件と後件に ∧ または ∨ が入る時、計4つの基本パターンが生じます。
| パターン | 形式 | 説明 |
|---|---|---|
| パターン 1 | (A ∧ B) → C | AとBの両方が真の時、Cは真 |
| パターン 2 | (A ∨ B) → C | AまたはBのどちらか一方が真なら、Cは真 |
| パターン 3 | A → (B ∧ C) | Aが真なら、BとCの両方が真 |
| パターン 4 | A → (B ∨ C) | Aが真なら、BまたはCの少なくとも一方が真 |
この4つを完全に理解すれば、ほとんどの複合推論問題を解くことができます。1つずつ分析していきましょう。
パターン 1: (A ∧ B) → C
「AかつBならばCである」
前件に ∧ がある形態です。AとBが同時に真であってはじめて、Cが真であることが保証されます。
真理表分析
| A | B | A∧B | C | (A∧B)→C |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | T | T | F | F (条件違反) |
| T | F | F | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | F | T | T |
| F | T | F | F | T |
| F | F | F | T | T |
| F | F | F | F | T |
核心: 前件(A∧B)が偽であれば、条件文は無条件で真です。AまたはBのどちらか一方が偽でも前件は偽になるため、条件文全体は真。
対偶変換: (A ∧ B) → C の対偶
対偶公式: ¬C → ¬(A ∧ B)
ド・モルガンの法則: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
したがって対偶は: ¬C → (¬A ∨ ¬B)
すなわち「Cではないならば、Aではないか、またはBではない」
実戦例示
与えられた条件: 「国語の点数が80点以上であり(A)、英語の点数が80点以上であれば(B)、合格である(C)。」
- A∧B: 国語 80以上 かつ 英語 80以上
- (A∧B)→C: 両方の条件を満たす → 合格
対偶適用: 不合格(¬C)ならば → 国語が80未満であるか(¬A)、英語が80未満である(¬B)。
試験で頻出する罠: 「(A∧B)→C が真の時、A→C は真か？」
正解: 偽. Aのみが真でBが偽であれば前件が偽になるため条件文は真になりますが、AがCを保証するわけではありません。
パターン 2: (A ∨ B) → C
「AまたはBならばCである」
前件に ∨ がある形態。AまたはBのどちらか一方が真であれば、Cは真でなければなりません。
核心ポイント
このパターンは次の2つの条件文と同値です:
- A → C
- B → C
なぜなら、A∨Bが真である場合は（Aのみ真）、（Bのみ真）、（両方真）の3つであり、いずれの場合でもCでなければならないからです。
したがって: (A ∨ B) → C ≡ (A → C) ∧ (B → C)
これが最も重要な同値変形です。必ず暗記してください。
対偶変換: (A ∨ B) → C の対偶
¬C → ¬(A ∨ B)
ド・モルガンの法則: ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
したがって対偶は: ¬C → (¬A ∧ ¬B)
すなわち「Cではないならば、AでもなくBでもない」
実戦例示
条件: 「寝坊をするか(A)、交通が混雑すれば(B)、遅刻である(C)。」
- (A∨B)→C: どちらか一方だけでも起きれば遅刻
分離: 「寝坊をすれば遅刻である(A→C)」 AND 「交通が混雑すれば遅刻である(B→C)」
対偶: 遅刻しなかったならば(¬C) → 寝坊もせず(¬A)交通も混雑していなかった(¬B)。
パターン 3: A → (B ∧ C)
「AならばBかつCである」
後件に ∧ がある形態。Aが真であれば、BとCの両方が必ず真でなければなりません。
核心ポイント
このパターンは次の2つの条件文と同値です:
- A → B
- A → C
A → (B ∧ C) ≡ (A → B) ∧ (A → C)
対偶変換: A → (B ∧ C) の対偶
¬(B ∧ C) → ¬A
ド・モルガンの法則: ¬(B ∧ C) = ¬B ∨ ¬C
したがって対偶は: (¬B ∨ ¬C) → ¬A
すなわち「Bではないか、またはCではないならば、Aではない」
実戦例示
条件: 「入社志望書を提出すれば(A)、自己紹介書と(B)、ポートフォリオを(C)一緒に提出しなければならない。」
分離: 「入社志望書提出 → 自己紹介書提出」 AND 「入社志望書提出 → ポートフォリオ提出」
対偶: 自己紹介書未提出であるか(¬B)、またはポートフォリオ未提出であれば(¬C) → 志望書が通過しない(¬A)。
パターン 4: A → (B ∨ C)
「AならばBまたはCである」
後件に ∨ がある形態。Aが真であれば、BまたはCの少なくとも一方が真でなければなりません。
対偶変換: A → (B ∨ C) の対偶
¬(B ∨ C) → ¬A
ド・モルガンの法則: ¬(B ∨ C) = ¬B ∧ ¬C
したがって対偶は: (¬B ∧ ¬C) → ¬A
すなわち「BでもなくCでもないならば、Aではない」
実戦例示
条件: 「プロジェクトに選抜されれば(A)、ソウルまたは(B)釜山に配置される(C)。」
- A → (B ∨ C): 選抜 → ソウルか釜山
対偶: ソウルでもなく(¬B)釜山でもなければ(¬C) → 選抜されなかった(¬A)。
注意: B∨Cが真だからといって、Aが必ず真であるわけではありません（逆の誤謬）。
4つのパターンの統合整理表
| 元の条件文 | 同値分離 | 対偶 |
|---|---|---|
| (A∧B)→C | - | ¬C→(¬A∨¬B) |
| (A∨B)→C | (A→C)∧(B→C) | ¬C→(¬A∧¬B) |
| A→(B∧C) | (A→B)∧(A→C) | (¬B∨¬C)→¬A |
| A→(B∨C) | - | (¬B∧¬C)→¬A |
この表を覚えれば、いかなる複合条件文も素早く変換できます。
ド・モルガンの法則: 必ず暗記すべき2つの公式
上記のすべての対偶変換の核心ツール:
- ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B — ANDにNOTをかぶせると → ORに変わり、各項も否定される
- ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B — ORにNOTをかぶせると → ANDに変わり、各項も否定される
直感的理解:
- 「AかつBではない」 = 「Aではないか、またはBではない」 ✓
- 「AまたはBではない」 = 「Aではなく、かつBではない」 ✓
実戦問題演習
問題 1
次の条件がすべて真の時、確実に真であるものは？
① (国策事業 A 選定 ∨ 国策事業 B 選定) → 予算増額 ② 国策事業 A が選定された。
解法プロセス:
パターン 2 適用: (A∨B)→C ≡ (A→C)∧(B→C)
したがって条件①は: 「A選定 → 予算増額」 AND 「B選定 → 予算増額」に分離されます。
条件②によりAが真であるため、「A → 予算増額」から前件肯定（Modus Ponens）:
結論: 予算増額が行われる。 ✓
問題 2
次の条件がすべて真の時、確実に真であるものは？
① プロジェクトに参加すれば → 企画書と結果報告書の双方を提出する ② 金（キム）代理は結果報告書を提出しなかった。
解法プロセス:
パターン 3 適用: A→(B∧C) の対偶 = (¬B∨¬C)→¬A
「結果報告書未提出(¬C)」 → ¬(B∧C) → ¬A
対偶適用: 金代理はプロジェクトに参加しなかった。 ✓
（後件否定 Modus Tollens）
問題 3 (高難度)
次の条件がすべて真の時、必ず真であるものを選びなさい。
① 雨が降れば(A) → 遠足を取り消すか(B) かっぱを持参する(C) ② 雨が降った(A)。 ③ 遠足を取り消さなかった(¬B)。
解法プロセス:
① パターン 4: A→(B∨C) ② ③により: A=T, ¬B=T (すなわち B=F)
Aが真であるため、①により B∨C が真でなければなりません。 Bが偽であるため、B∨C が真になるには C が必ず真でなければなりません。
結論: かっぱを持参した(C)。 ✓
この推論パターンのことを選言三段論法（Disjunctive Syllogism）と呼びます: (B∨C) と ¬B → C
頻出の罠のタイプ
罠 1: 前件肯定と後件肯定の混同
(A∧B)→C で A が真の時、C は真か？
偽！ Aのみが真でBが偽であれば前件が偽 → 条件文は真になりますが、Cについて何も言うことはできません。
罠 2: (A∨B)→C で C が真の時、A∨B は真か？
偽！ 後件肯定の誤謬。Cが別の理由で真である可能性もあります。後件が真であっても、前件が真であると推論することはできません。
罠 3: 対偶を逆に変換する誤り
(A∧B)→C の逆: C→(A∧B) — これは同値ではありません。
対偶: ¬C→(¬A∨¬B) — これのみが同値です。
核心整理: これだけは覚えよう
- (A∨B)→C ≡ (A→C)∧(B→C): 前件 OR → それぞれに分離
- A→(B∧C) ≡ (A→B)∧(A→C): 後件 AND → それぞれに分離
- ド・モルガン: ¬(A∧B)=¬A∨¬B / ¬(A∨B)=¬A∧¬B
- 対偶変換 時に ∧↔∨ の入れ替えが発生
- 選言三段論法: (A∨B)∧¬A → B
次の回 Ch4: 連鎖推論と三段論法では、A→B、B→C の時に A→C が成立する連鎖推論の原理と、それを活用した長い条件文の連鎖問題の解き方を扱います。
Oiyo
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