확률 이론 — 불확실성을 숫자로 다루는 기초

확률의 정의

확률(Probability): 어떤 사건이 발생할 가능성을 0과 1 사이의 숫자로 나타낸 것.

세 가지 해석:

• 고전적 확률: 표본공간의 동등 가능한 결과 중 사건의 비율
• 빈도적 확률: 장기 시행에서의 상대 도수
• 주관적 확률: 개인의 믿음(베이지안 관점)

확률 공리 (콜모고로프):

1. P(A) ≥ 0 (비음수)
2. P(전체 표본공간) = 1
3. 배반 사건 A, B: P(A∪B) = P(A) + P(B)

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집합과 사건

표기	의미
A∪B (합집합)	A 또는 B 발생
A∩B (교집합)	A 그리고 B 모두 발생
Aᶜ (여사건)	A가 발생하지 않음
∅ (공사건)	불가능한 사건

배반 사건 (Mutually Exclusive): A∩B = ∅
전사건 (Exhaustive): A∪B = 전체 표본공간

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덧셈 법칙

$$\begin{aligned} P(A∪B) &= P(A) + P(B) - P(A∩B) \\ \text{배반 사건이면}: P(A∪B) &= P(A) + P(B) \end{aligned}$$

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조건부 확률

조건부 확률 P(A|B): B가 주어졌을 때 A가 발생할 확률

$$P(A \mid B) = P(A∩B) / P(B) (P(B) > 0)$$

예시: 주사위를 굴려 짝수가 나왔다(B). 이때 4 이상(A)일 확률은?

• B = 6: P(B) = 3/6
• A∩B = 6: P(A∩B) = 2/6
• P(A|B) = (2/6) / (3/6) = 2/3

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독립 사건

독립(Independence): A의 발생이 B의 확률에 영향을 주지 않을 때

$$\begin{aligned} \text{독립 조건}: P(A∩B) &= P(A) \times P(B) \\ P(A \mid B) &= P(A) \end{aligned}$$

주의: 배반 사건 ≠ 독립 사건
배반이면 한 사건 발생 시 다른 사건 확률 = 0 → 강하게 종속

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곱셈 법칙 (연쇄 법칙)

$$\begin{aligned} P(A \cap B) &= P(A) \times P(B \mid A) = P(B) \times P(A \mid B) \\ \text{세 사건}: P(A \cap B \cap C) &= P(A) \times P(B \mid A) \times P(C \mid A \cap B) \end{aligned}$$

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전확률 공식

사건 B₁, B₂, …, Bₙ이 전사건이고 서로 배반일 때:

$$P(A) = \sum P(A|B_{i}) \times P(B_{i})$$

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베이즈 정리 (Bayes’ Theorem)

사전 정보를 새 증거로 업데이트하는 공식.

$$P(B \mid A) = P(A \mid B) \times P(B) / P(A)$$

실제 활용 예시 — 의료 진단:

• 질병 유병률(사전 확률): $P(\text{질병}) = 0.01$

• 양성 반응일 때 실제 질병 확률(사후 확률): ?

• 민감도(양성인데 질병 O): $P(\text{양성} \mid \text{질병}) = 0.99$

• 특이도(음성인데 질병 X): $P(\text{음성} \mid \text{건강}) = 0.95$

$$P(\text{양성 } \mid \text{건강}) = 0.05$$ $$P(\text{질병 } \mid \text{양성}) = \frac{0.99 \times 0.01}{0.99 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99}$$

≈ 16.7% → 유병률이 낮으면 양성 판정도 위양성일 가능성이 높음!

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핵심 개념 카드

조건부 확률 ★★★★★ : P(A|B) = P(A∩B)/P(B). B가 주어진 조건에서 A의 확률. 많은 통계 문제의 핵심. 암기 포인트: 조건부 = 분모가 조건 사건의 확률

독립 사건 ★★★★★ : P(A∩B) = P(A)×P(B)이면 독립. 한 사건이 다른 사건 확률에 영향 없음. 암기 포인트: 독립 = 교집합 = 각 확률의 곱

베이즈 정리 ★★★★☆ : 사전 확률을 새 증거로 업데이트. 스팸 필터, 의료 진단, AI 분류에 핵심 원리. 암기 포인트: 사후 확률 = 우도 × 사전 확률 / 증거

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실전 퀴즈

Q. 카드 한 장을 뽑아 빨간색(R)인 사건과 하트(H)인 사건은 독립인가?

독립. P(H) = 13/52 = 1/4. P(R) = 26/52 = 1/2. P(H∩R) = 13/52 = 1/4. P(H)×P(R) = 1/4×1/2 = 1/8 ≠ 1/4. → 독립 아님! (하트이면 반드시 빨간색이므로 종속)

Q. 공장 A가 전체의 60%, 공장 B가 40% 생산. A의 불량률 2%, B의 불량률 5%. 임의로 뽑은 제품이 불량일 확률은?

P(불량) = P(불량|A)×P(A) + P(불량|B)×P(B) = 0.02×0.6 + 0.05×0.4 = 0.012 + 0.020 = 0.032 = 3.2%.