시계열 분석 — 과거 데이터로 미래를 예측하는 법

시계열 데이터란

시계열(Time Series): 시간에 따라 순차적으로 수집된 데이터.

예시: 주가, GDP, 소비자물가지수, 판매량, 기온

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시계열의 4대 성분

$$\begin{aligned} Y_t &= T_t \times S_t \times C_t \times I_t (\text{승법 모형}) \\ Y_t &= T_t + S_t + C_t + I_t (\text{가법 모형}) \end{aligned}$$

성분	기호	설명
추세(Trend)	T	장기적 증가·감소 방향
계절성(Seasonality)	S	1년 이내 주기적 패턴
순환(Cycle)	C	경기 순환 등 수년 주기 패턴
불규칙(Irregular)	I	예측 불가능한 무작위 변동

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이동평균법 (Moving Average)

과거 n기간의 평균으로 다음 기간을 예측.

$$MA(n) = (Y_t + Y_{t-1} + ... + Y_{t-n+1}) / n$$

장점: 단기 변동(노이즈) 제거, 추세 파악
단점: 최근 데이터와 오래된 데이터에 동일한 가중치

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지수평활법 (Exponential Smoothing)

최근 데이터에 더 높은 가중치 부여.

$$\hat{Y}_{t+1} = \alpha \times Y_t + (1-\alpha) \times \hat{Y}_t$$

• α: 평활 계수 (0 < α < 1)
• α → 1: 최근 데이터 중시 (변동에 민감)
• α → 0: 과거 데이터 중시 (부드러운 예측)

홀트-윈터스(Holt-Winters): 추세+계절성 포함 지수평활법.

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자기상관과 정상성

자기상관(Autocorrelation, ACF): 시계열이 자기 자신의 과거 값과 얼마나 상관되어 있는지

정상 시계열(Stationary): 시간이 지나도 평균·분산이 일정
→ 비정상 시계열은 차분(differencing)으로 정상화

차분(Differencing):

$$\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1} \quad \text{(1차 차분)}$$

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ARIMA 모형

ARIMA(p, d, q): 자기회귀(AR) + 차분(I) + 이동평균(MA)

기호	의미
p	AR 차수 (자기회귀 항 수)
d	차분 횟수 (정상화 차수)
q	MA 차수 (이동평균 오차항 수)

• AR(p): Y_t = φ₁Y_{t-1} + … + φₚY_{t-p} + ε_t
• MA(q): Y_t = ε_t + θ₁ε_{t-1} + … + θqε_{t-q}
• ARMA(p,q): AR + MA 결합
• ARIMA(p,d,q): 비정상 시계열의 d회 차분 후 ARMA

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예측 정확도 지표

$$\begin{aligned} MAE &= \sum |Y_t - \hat{Y}_t| / n \quad \text{(평균절대오차)} \\ MSE &= \sum (Y_t - \hat{Y}_t)^2 / n \quad \text{(평균제곱오차)} \\ RMSE &= \sqrt{MSE} \quad \text{(평균제곱근오차)} \\ MAPE &= \sum |Y_t - \hat{Y}_t| / Y_t / n \times 100\% \quad \text{(평균절대백분율오차)} \end{aligned}$$

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핵심 개념 카드

시계열 4대 성분 ★★★★★ : 추세(T)·계절성(S)·순환(C)·불규칙(I). 시계열 분해와 예측 모형 선택의 기초. 암기 포인트: 추-계-순-불 (추세계절성 순환불규칙)

지수평활법 ★★★★☆ : α가 클수록 최근 데이터 중시. 단순·이중·삼중(홀트-윈터스) 방식. 암기 포인트: α→1=최근 민감, α→0=느린 반응

ARIMA(p,d,q) ★★★★☆ : 비정상 시계열의 표준 예측 모형. d=차분 횟수, p=AR항, q=MA항. 암기 포인트: d=정상화, p=자기회귀, q=오차이동평균

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실전 퀴즈

Q. 매출 데이터에 강한 계절성이 있다. 어떤 예측 방법이 적합한가?

홀트-윈터스 지수평활법 또는 SARIMA(계절성 ARIMA). 계절 성분을 명시적으로 모형화해야 계절적 패턴을 반영한 예측이 가능.

Q. ARIMA(1,1,0)의 의미는?

AR 항 1개(p=1), 1회 차분(d=1, 비정상 시계열 처리), MA 항 없음(q=0). 1차 차분 후 AR(1) 모형 적용.