미적분학 — 미분의 정의와 미분 규칙

도함수(Derivative)의 정의

도함수의 극한 정의:
f'(x) = lim [f(x+h) - f(x)] / h
         h→0

직관적 의미:
→ f'(x): 점 x에서 함수 f의 순간 변화율
→ 곡선 y = f(x) 위의 점 (x, f(x))에서 접선의 기울기

표기법:
→ f'(x) (라그랑주 표기)
→ df/dx (라이프니츠 표기)
→ Df(x) (오일러 표기)
→ ẋ (뉴턴 표기, 시간 미분)

도함수의 기하학적 의미

할선 (Secant Line):

두 점 (x, f(x))와 (x+h, f(x+h))를 지나는 직선
기울기 = [f(x+h) - f(x)] / h (평균 변화율)

접선 (Tangent Line):

h → 0으로 가면 할선이 접선에 수렴
접선 기울기 = f’(x) (순간 변화율)

물리적 의미:

위치 함수 s(t)에서 속도 = s’(t) = ds/dt
속도 함수 v(t)에서 가속도 = v’(t) = a(t)

미분 가능성과 연속성

미분 가능 조건:

x = a에서 lim [f(a+h) - f(a)] / h 가 존재 h→0

연속과 미분의 관계:

f가 x=a에서 미분 가능 → f는 x=a에서 연속 (역은 성립 안 함)

연속이지만 미분 불가능한 예:

f(x) = |x| (절댓값 함수)
x=0에서 연속이지만 미분 불가능
왼쪽 접선 기울기 = -1
오른쪽 접선 기울기 = +1
서로 달라 미분 불가능

미분 불가능한 경우:

꺾임점 (Corner): |x| 형태
뾰족점 (Cusp): x^(2/3) 형태
수직 접선: f’(x) = ±∞
불연속점

기본 미분 공식

상수: (c)' = 0
거듭제곱: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
상수배: (cf)' = cf'
합·차: (f ± g)' = f' ± g'

예시:
→ (x³)' = 3x²
→ (5x²)' = 10x
→ (x³ + 2x)' = 3x² + 2
→ (√x)' = (x^(1/2))' = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x)

곱의 법칙과 몫의 법칙

곱의 법칙 (Product Rule):

(fg)’ = f’g + fg’

예시:

y = x² · sin(x)
y’ = 2x · sin(x) + x² · cos(x)

몫의 법칙 (Quotient Rule):

(f/g)’ = (f’g - fg’) / g²

기억법: “위아래 - 위아래” / 아래²

예시:

y = sin(x) / x
y’ = (cos(x)·x - sin(x)·1) / x² = (x·cos(x) - sin(x)) / x²

연쇄 법칙 (Chain Rule)

연쇄 법칙:

d/dx [f(g(x))] = f’(g(x)) · g’(x)

라이프니츠 표기:

dy/dx = (dy/du) · (du/dx)

예시 1: y = sin(x²)

f(u) = sin(u), g(x) = x²
y’ = cos(u) · 2x = cos(x²) · 2x = 2x·cos(x²)

예시 2: y = (3x + 1)⁵

f(u) = u⁵, g(x) = 3x + 1
y’ = 5u⁴ · 3 = 5(3x+1)⁴ · 3 = 15(3x+1)⁴

예시 3: y = √(x² + 1)

y = (x² + 1)^(1/2)
y’ = (1/2)(x² + 1)^(-1/2) · 2x = x / √(x² + 1)

삼각함수의 미분

\begin{aligned} &\text{기본 삼각함수 미분}: \\ (\text{sin} x)' &= \text{cos} x \\ (\text{cos} x)' &= -\text{sin} x \\ (\text{tan} x)' &= \text{sec}^2x = \frac{1}{\text{cos}}^2x \\ (\text{csc} x)' &= -\text{csc} x · \text{cot} x \\ (\text{sec} x)' &= \text{sec} x · \text{tan} x \\ (\text{cot} x)' &= -\text{csc}^2x \\ &\text{역삼각함수 미분}: \\ (\text{arcsin} x)' &= 1/\sqrt(1-x^2) \\ (\text{arccos} x)' &= -1/\sqrt(1-x^2) \\ (\text{arctan} x)' &= \frac{1}{1+x^2} \\ &\text{예시}: \\ \to y &= \text{sin}(3x): y' = \text{cos}(3x) · 3 = 3cos(3x) (\text{연쇄 법칙}) \\ \to y &= \text{tan}(x^2): y' = \text{sec}^2(x^2) · 2x \end{aligned}

지수함수와 로그함수의 미분

지수함수 미분:

(eˣ)’ = eˣ (자기 자신이 도함수)

(aˣ)’ = aˣ · ln a (a > 0, a ≠ 1)

로그함수 미분:

(ln x)’ = 1/x (x > 0)

(log_a x)’ = 1/(x · ln a)

연쇄 법칙 적용:

(e^(f(x)))’ = e^(f(x)) · f’(x)

(ln(f(x)))’ = f’(x) / f(x)

예시:

y = e^(x²): y’ = e^(x²) · 2x
y = ln(sin x): y’ = cos x / sin x = cot x
y = e^(3x+1): y’ = 3e^(3x+1)

고차 도함수

2차 도함수:

f”(x) = d²f/dx² = (f’(x))’

n차 도함수:

f⁽ⁿ⁾(x) = dⁿf/dxⁿ

물리적 의미:

s(t): 위치
s’(t) = v(t): 속도
s”(t) = v’(t) = a(t): 가속도

예시:

f(x) = x⁴
f’(x) = 4x³
f”(x) = 12x²
f'''(x) = 24x
f⁽⁴⁾(x) = 24
f⁽ⁿ⁾(x) = 0 (n ≥ 5)

자주 묻는 질문

Q. 연쇄 법칙을 잘못 적용하는 실수를 어떻게 방지하나요? A. “겉 미분 × 안 미분”으로 기억하세요. y = f(g(x))에서 겉 함수 f를 g(x)를 유지한 채 미분한 값에, 안 함수 g(x)의 미분을 곱합니다. 연습 문제를 많이 풀어 자동화하는 것이 가장 효과적입니다.

Q. 미분 공식은 외워야 하나요? A. 기본 공식(거듭제곱, sin/cos, eˣ, ln x)은 반드시 암기해야 합니다. 몫의 법칙, 연쇄 법칙은 공식보다 원리를 이해하면 재도출할 수 있습니다. 시험에서는 빠른 계산을 위해 주요 공식을 암기하는 것이 유리합니다.

도함수(Derivative)의 정의

도함수의 기하학적 의미

미분 가능성과 연속성

기본 미분 공식

곱의 법칙과 몫의 법칙

연쇄 법칙 (Chain Rule)

삼각함수의 미분

지수함수와 로그함수의 미분

고차 도함수

자주 묻는 질문

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