미적분학 — 2강: 미분의 정의와 미분 규칙

도함수(Derivative)의 정의

도함수의 극한 정의:
f'(x) = lim [f(x+h) - f(x)] / h
         h→0

직관적 의미:
→ f'(x): 점 x에서 함수 f의 순간 변화율
→ 곡선 y = f(x) 위의 점 (x, f(x))에서 접선의 기울기

표기법:
→ f'(x) (라그랑주 표기)
→ df/dx (라이프니츠 표기)
→ Df(x) (오일러 표기)
→ ẋ (뉴턴 표기, 시간 미분)

도함수의 기하학적 의미

할선 (Secant Line):
→ 두 점 (x, f(x))와 (x+h, f(x+h))를 지나는 직선
→ 기울기 = [f(x+h) - f(x)] / h (평균 변화율)

접선 (Tangent Line):
→ h → 0으로 가면 할선이 접선에 수렴
→ 접선 기울기 = f'(x) (순간 변화율)

물리적 의미:
→ 위치 함수 s(t)에서 속도 = s'(t) = ds/dt
→ 속도 함수 v(t)에서 가속도 = v'(t) = a(t)

미분 가능성과 연속성

미분 가능 조건:
→ x = a에서 lim [f(a+h) - f(a)] / h 가 존재
           h→0

연속과 미분의 관계:
→ f가 x=a에서 미분 가능 → f는 x=a에서 연속 (역은 성립 안 함)

연속이지만 미분 불가능한 예:
→ f(x) = |x| (절댓값 함수)
→ x=0에서 연속이지만 미분 불가능
→ 왼쪽 접선 기울기 = -1
→ 오른쪽 접선 기울기 = +1
→ 서로 달라 미분 불가능

미분 불가능한 경우:
1. 꺾임점 (Corner): |x| 형태
2. 뾰족점 (Cusp): x^(2/3) 형태
3. 수직 접선: f'(x) = ±∞
4. 불연속점

기본 미분 공식

상수: (c)' = 0
거듭제곱: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
상수배: (cf)' = cf'
합·차: (f ± g)' = f' ± g'

예시:
→ (x³)' = 3x²
→ (5x²)' = 10x
→ (x³ + 2x)' = 3x² + 2
→ (√x)' = (x^(1/2))' = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x)

곱의 법칙과 몫의 법칙

곱의 법칙 (Product Rule):
(fg)' = f'g + fg'

예시:
→ y = x² · sin(x)
→ y' = 2x · sin(x) + x² · cos(x)

몫의 법칙 (Quotient Rule):
(f/g)' = (f'g - fg') / g²

기억법: "위아래 - 위아래" / 아래²

예시:
→ y = sin(x) / x
→ y' = (cos(x)·x - sin(x)·1) / x²
     = (x·cos(x) - sin(x)) / x²

연쇄 법칙 (Chain Rule)

연쇄 법칙:
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)

라이프니츠 표기:
dy/dx = (dy/du) · (du/dx)

예시 1: y = sin(x²)
→ f(u) = sin(u), g(x) = x²
→ y' = cos(u) · 2x = cos(x²) · 2x = 2x·cos(x²)

예시 2: y = (3x + 1)⁵
→ f(u) = u⁵, g(x) = 3x + 1
→ y' = 5u⁴ · 3 = 5(3x+1)⁴ · 3 = 15(3x+1)⁴

예시 3: y = √(x² + 1)
→ y = (x² + 1)^(1/2)
→ y' = (1/2)(x² + 1)^(-1/2) · 2x = x / √(x² + 1)

삼각함수의 미분

기본 삼각함수 미분:
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(tan x)' = sec²x = 1/cos²x
(csc x)' = -csc x · cot x
(sec x)' = sec x · tan x
(cot x)' = -csc²x

역삼각함수 미분:
(arcsin x)' = 1/√(1-x²)
(arccos x)' = -1/√(1-x²)
(arctan x)' = 1/(1+x²)

예시:
→ y = sin(3x): y' = cos(3x) · 3 = 3cos(3x) (연쇄 법칙)
→ y = tan(x²): y' = sec²(x²) · 2x

지수함수와 로그함수의 미분

지수함수 미분:
(eˣ)' = eˣ  (자기 자신이 도함수)
(aˣ)' = aˣ · ln a (a > 0, a ≠ 1)

로그함수 미분:
(ln x)' = 1/x (x > 0)
(log_a x)' = 1/(x · ln a)

연쇄 법칙 적용:
(e^(f(x)))' = e^(f(x)) · f'(x)
(ln(f(x)))' = f'(x) / f(x)

예시:
→ y = e^(x²): y' = e^(x²) · 2x
→ y = ln(sin x): y' = cos x / sin x = cot x
→ y = e^(3x+1): y' = 3e^(3x+1)

고차 도함수

2차 도함수:
f''(x) = d²f/dx² = (f'(x))'

n차 도함수:
f⁽ⁿ⁾(x) = dⁿf/dxⁿ

물리적 의미:
→ s(t): 위치
→ s'(t) = v(t): 속도
→ s''(t) = v'(t) = a(t): 가속도

예시:
→ f(x) = x⁴
→ f'(x) = 4x³
→ f''(x) = 12x²
→ f'''(x) = 24x
→ f⁽⁴⁾(x) = 24
→ f⁽ⁿ⁾(x) = 0 (n ≥ 5)

자주 묻는 질문

Q. 연쇄 법칙을 잘못 적용하는 실수를 어떻게 방지하나요? A. “겉 미분 × 안 미분”으로 기억하세요. y = f(g(x))에서 겉 함수 f를 g(x)를 유지한 채 미분한 값에, 안 함수 g(x)의 미분을 곱합니다. 연습 문제를 많이 풀어 자동화하는 것이 가장 효과적입니다.

Q. 미분 공식은 외워야 하나요? A. 기본 공식(거듭제곱, sin/cos, eˣ, ln x)은 반드시 암기해야 합니다. 몫의 법칙, 연쇄 법칙은 공식보다 원리를 이해하면 재도출할 수 있습니다. 시험에서는 빠른 계산을 위해 주요 공식을 암기하는 것이 유리합니다.

OIYO 편집부