미적분학 — 4강: 다변수 함수·편미분·중적분

다변수 함수의 기초

다변수 함수:
→ z = f(x, y): 2변수 함수 (3차원 공간)
→ w = f(x, y, z): 3변수 함수
→ 정의역: xy-평면의 부분집합

극한과 연속 (2변수):
→ lim f(x,y) = L: 어떤 경로로 (a,b)에 접근해도 동일 값
→ 경로 의존성: 두 경로에서 극한값이 다르면 극한 존재 안함
→ 연속: lim f(x,y) = f(a,b)

등위선 (Level Curves):
→ f(x,y) = c (c 상수): x-y 평면 위 곡선
→ 지도의 등고선, 기상도의 등압선
→ 등위면 (Level Surface): f(x,y,z) = c

벡터값 함수:
→ r(t) = (x(t), y(t), z(t))
→ 3차원 공간 곡선 매개변수 표현
→ r'(t): 접선 벡터 (속도 벡터)

편미분과 그래디언트

편미분 (Partial Derivative):
→ f_x = ∂f/∂x: x에 대한 편미분 (y를 상수 취급)
→ f_y = ∂f/∂y: y에 대한 편미분 (x를 상수 취급)

예시: f(x,y) = x²y + 3xy²
→ f_x = 2xy + 3y²
→ f_y = x² + 6xy

고차 편미분:
→ f_xx = ∂²f/∂x²
→ f_xy = ∂²f/∂x∂y (혼합 편미분)
→ 클레로의 정리: f_xy = f_yx (연속 가정 시)

그래디언트 (Gradient):
→ ∇f = (f_x, f_y) (2변수)
→ ∇f = (f_x, f_y, f_z) (3변수)
→ 의미: 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향·크기
→ ∇f ⊥ 등위선

방향 도함수 (Directional Derivative):
→ D_u f = ∇f · u (단위 벡터 u 방향)
→ 최대: ∇f 방향 → 크기 |∇f|
→ 최소: -∇f 방향 → 크기 -|∇f|
→ 0: ∇f ⊥ u (등위선 방향)

연쇄 법칙 (Chain Rule):
→ z = f(x,y), x = x(t), y = y(t) 일 때:
  dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)
→ x = x(s,t), y = y(s,t) 일 때:
  ∂z/∂s = f_x · x_s + f_y · y_s

극값 판별과 최적화

임계점 (Critical Points):
→ ∇f = 0 인 점: f_x = 0 이고 f_y = 0
→ 극대, 극소, 안장점 가능

이차 편미분 판별법:
→ D = f_xx · f_yy - (f_xy)²

D > 0, f_xx > 0: 극소 (local minimum)
D > 0, f_xx < 0: 극대 (local maximum)
D < 0: 안장점 (saddle point)
D = 0: 판정 불가 (고차 분석 필요)

예시: f(x,y) = x² + y² - 2x - 4y + 5
→ f_x = 2x - 2 = 0 → x = 1
→ f_y = 2y - 4 = 0 → y = 2
→ D = 2·2 - 0 = 4 > 0, f_xx = 2 > 0 → 극소

라그랑주 승수법 (Lagrange Multipliers):
→ 제약 조건 g(x,y) = 0 하에서 f(x,y) 최적화
→ ∇f = λ∇g (λ: 라그랑주 승수)
→ 연립 방정식:
  f_x = λg_x
  f_y = λg_y
  g(x,y) = 0

응용: 예산 제약 하에서 효용 극대화
→ 효용함수 U(x,y) 극대화
→ 제약: px·x + py·y = M (예산)
→ 한계 대체율 = 상대 가격 조건 도출

이중 적분

이중 적분:
→ ∬_R f(x,y) dA: 영역 R 위 적분
→ 기하학적 의미: z = f(x,y) ≥ 0 이면 입체 부피

반복 적분 (Fubini 정리):
→ ∬_R f dA = ∫_a^b [∫_c^d f(x,y) dy] dx
→ 적분 순서 교환 가능 (f 연속 시)

유형 I 영역 (y 단순):
→ a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)
→ ∫_a^b ∫_{g1(x)}^{g2(x)} f dy dx

유형 II 영역 (x 단순):
→ c ≤ y ≤ d, h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)
→ ∫_c^d ∫_{h1(y)}^{h2(y)} f dx dy

극좌표 변환:
→ x = r cosθ, y = r sinθ
→ dA = r dr dθ
→ 원형 영역에서 유용

야코비안 (Jacobian):
→ 좌표 변환 시 면적 요소 변환
→ x = x(u,v), y = y(u,v):
  J = | x_u  x_v |
      | y_u  y_v |
→ dA = |J| du dv

이중 적분 응용:
→ 넓이: ∬_R 1 dA
→ 부피: ∬_R f(x,y) dA (f ≥ 0)
→ 질량: ∬_R ρ(x,y) dA (밀도 ρ)
→ 무게 중심: x̄ = (1/m) ∬ x·ρ dA

삼중 적분

삼중 적분:
→ ∭_E f(x,y,z) dV
→ 부피: ∭_E 1 dV

원통 좌표계:
→ x = r cosθ, y = r sinθ, z = z
→ dV = r dr dθ dz
→ 원통형·원뿔형 영역에서 편리

구 좌표계:
→ x = ρ sinφ cosθ
→ y = ρ sinφ sinθ
→ z = ρ cosφ
→ ρ: 원점 거리, φ: 극각, θ: 방위각
→ dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ
→ 구형 영역에서 편리

응용:
→ 부피: ∭_E 1 dV
→ 질량: ∭_E ρ(x,y,z) dV
→ 구의 부피 = (4/3)πR³ (구 좌표로 유도 가능)

Q. 편미분과 전미분(total derivative)은 어떻게 다른가요? A. 편미분 ∂f/∂x는 y를 고정하고 x만 변화시킬 때의 변화율입니다. 전미분 df = f_x dx + f_y dy는 x와 y가 동시에 변할 때 f의 총 변화량을 나타냅니다. 예를 들어 기업 이익 f(가격, 판매량)에서 가격에 대한 편미분은 판매량이 고정될 때의 이익 변화율이고, 전미분은 두 변수가 함께 변할 때 이익 변화의 근사값입니다.

Q. 적분 순서를 바꾸면 편한 경우가 있나요? A. 네, 피적분함수나 적분 영역의 모양에 따라 한쪽 순서가 훨씬 계산하기 쉬울 수 있습니다. 예를 들어 ∫₀¹ ∫_x^1 sin(y²) dy dx는 sin(y²)의 x에 대한 적분이 불가능하지만, 순서를 바꿔 ∫₀¹ ∫₀^y sin(y²) dx dy = ∫₀¹ y·sin(y²) dy로 변환하면 치환 적분으로 계산할 수 있습니다.