미적분학 — 적분의 정의와 응용

부정적분 (Antiderivative)

부정적분의 정의:

F’(x) = f(x)이면, F(x)를 f(x)의 원시함수
적분 기호: ∫f(x)dx = F(x) + C (C: 적분 상수)

기본 적분 공식:

∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ -1)
∫(1/x) dx = ln|x| + C
∫e^x dx = e^x + C
∫a^x dx = a^x/ln(a) + C

삼각 함수 적분:

∫sin(x) dx = -cos(x) + C
∫cos(x) dx = sin(x) + C
∫sec²(x) dx = tan(x) + C
∫csc²(x) dx = -cot(x) + C

선형 적분 법칙:

∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx

적분 기법 1: 치환 적분

치환 적분 (U-Substitution):

u = g(x)로 놓으면 du = g’(x)dx
복잡한 합성함수 적분에 활용

절차:

u = g(x) 설정 (안쪽 함수)
du = g’(x)dx 계산
x로 된 식을 u로 치환
u에 대해 적분
결과를 x로 다시 치환

예시:

∫2x·sin(x²)dx u = x², du = 2x dx = ∫sin(u)du = -cos(u) + C = -cos(x²) + C
∫x/(1+x²) dx u = 1+x², du = 2x dx, x dx = du/2 = (1/2)∫(1/u)du = (1/2)ln|u| + C = (1/2)ln(1+x²) + C

적분 기법 2: 부분 적분

부분 적분 (Integration by Parts):

공식: ∫u dv = uv - ∫v du
두 함수의 곱을 적분할 때

LIATE 순서 (u 선택 기준):

L: Logarithmic (로그 함수)
I: Inverse trig (역삼각 함수)
A: Algebraic (대수 함수, x^n)
T: Trigonometric (삼각 함수)
E: Exponential (지수 함수)
앞쪽이 u, 뒤쪽이 dv

예시:

∫x·e^x dx u = x, dv = e^x dx du = dx, v = e^x = xe^x - ∫e^x dx = xe^x - e^x + C
∫ln(x) dx u = ln(x), dv = dx du = (1/x)dx, v = x = x·ln(x) - ∫x·(1/x)dx = x·ln(x) - x + C

정적분 (Definite Integral)

정적분의 정의 (리만 합):

∫[a to b] f(x)dx = lim(n→∞) Σf(x_i)·Δx
직관: 함수 아래 넓이 (부호 있음)

정적분의 성질:

∫[a to b] f(x)dx = -∫[b to a] f(x)dx
∫[a to a] f(x)dx = 0
∫[a to b] f(x)dx + ∫[b to c] f(x)dx = ∫[a to c] f(x)dx
∫[a to b] [f+g]dx = ∫[a to b]f dx + ∫[a to b]g dx

기함수·우함수 성질 (구간 [-a, a]):

우함수 f(-x) = f(x): ∫[-a to a] = 2∫[0 to a]
기함수 f(-x) = -f(x): ∫[-a to a] = 0

미적분학의 기본 정리

미적분학의 기본 정리 1부:

F(x) = ∫[a to x] f(t)dt 이면 F’(x) = f(x)
적분과 미분은 역연산

미적분학의 기본 정리 2부:

∫[a to b] f(x)dx = F(b) - F(a)
F’(x) = f(x)인 F(x) 이용해 정적분 계산

계산 예시:

∫[0 to π] sin(x)dx = [-cos(x)]₀^π = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 + 1 = 2
∫[1 to e] (1/x)dx = [ln|x|]₁^e = ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1

정적분의 평균값 정리:

∫[a to b] f(x)dx = f(c)(b-a)인 c가 [a,b]에 존재
함수의 적분 평균값 = f(c)

적분의 응용

넓이 (Area):

x축 위 넓이: A = ∫[a to b] f(x)dx (f(x) ≥ 0)
두 곡선 사이 넓이: A = ∫[a to b] [f(x)-g(x)]dx (f≥g)

예시: y=x² 와 y=x 사이 넓이

교점: x²=x → x=0, x=1
A = ∫[0 to 1] (x-x²)dx = [x²/2 - x³/3]₀¹ = 1/2 - 1/3 = 1/6

회전체의 부피:

x축 회전: V = π·∫[a to b] [f(x)]²dx (원판법)
y축 회전: V = 2π·∫[a to b] x·f(x)dx (껍질법)

호의 길이 (Arc Length):

L = ∫[a to b] √(1 + [f’(x)]²) dx

평균값:

함수의 평균: f_avg = (1/(b-a)) ∫[a to b] f(x)dx

자주 묻는 질문

Q. 치환 적분과 부분 적분은 언제 각각 사용하나요? A. 치환 적분은 합성함수(f(g(x)))와 그 도함수가 함께 있을 때 효과적입니다. 예를 들어 ∫f(g(x))·g’(x)dx 형태입니다. 부분 적분은 두 다른 종류의 함수가 곱해져 있을 때 사용합니다. 대표적으로 ∫x·sin(x)dx처럼 대수×삼각, ∫x·e^x dx처럼 대수×지수, ∫ln(x)dx처럼 로그가 있는 경우입니다.

Q. 정적분이 음수가 나올 수 있나요? A. 네, 가능합니다. 정적분은 함수가 x축 아래(음수)에 있으면 음수가 됩니다. 예를 들어 ∫[π to 2π] sin(x)dx = -2입니다. 실제 ‘넓이’를 구하려면 |f(x)|를 적분하거나 x축 위아래를 분리해야 합니다. 정적분은 ‘서명된 넓이(signed area)‘로 방향이 있는 개념임을 기억하세요.