미적분학 — 3강: 적분의 정의와 응용

부정적분 (Antiderivative)

부정적분의 정의:
→ F'(x) = f(x)이면, F(x)를 f(x)의 원시함수
→ 적분 기호: ∫f(x)dx = F(x) + C (C: 적분 상수)

기본 적분 공식:
→ ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ -1)
→ ∫(1/x) dx = ln|x| + C
→ ∫e^x dx = e^x + C
→ ∫a^x dx = a^x/ln(a) + C

삼각 함수 적분:
→ ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
→ ∫cos(x) dx = sin(x) + C
→ ∫sec²(x) dx = tan(x) + C
→ ∫csc²(x) dx = -cot(x) + C

선형 적분 법칙:
→ ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
→ ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx

적분 기법 1: 치환 적분

치환 적분 (U-Substitution):
→ u = g(x)로 놓으면 du = g'(x)dx
→ 복잡한 합성함수 적분에 활용

절차:
1. u = g(x) 설정 (안쪽 함수)
2. du = g'(x)dx 계산
3. x로 된 식을 u로 치환
4. u에 대해 적분
5. 결과를 x로 다시 치환

예시:
→ ∫2x·sin(x²)dx
  u = x², du = 2x dx
  = ∫sin(u)du = -cos(u) + C = -cos(x²) + C

→ ∫x/(1+x²) dx
  u = 1+x², du = 2x dx, x dx = du/2
  = (1/2)∫(1/u)du = (1/2)ln|u| + C
  = (1/2)ln(1+x²) + C

적분 기법 2: 부분 적분

부분 적분 (Integration by Parts):
→ 공식: ∫u dv = uv - ∫v du
→ 두 함수의 곱을 적분할 때

LIATE 순서 (u 선택 기준):
→ L: Logarithmic (로그 함수)
→ I: Inverse trig (역삼각 함수)
→ A: Algebraic (대수 함수, x^n)
→ T: Trigonometric (삼각 함수)
→ E: Exponential (지수 함수)
→ 앞쪽이 u, 뒤쪽이 dv

예시:
→ ∫x·e^x dx
  u = x, dv = e^x dx
  du = dx, v = e^x
  = xe^x - ∫e^x dx = xe^x - e^x + C

→ ∫ln(x) dx
  u = ln(x), dv = dx
  du = (1/x)dx, v = x
  = x·ln(x) - ∫x·(1/x)dx = x·ln(x) - x + C

정적분 (Definite Integral)

정적분의 정의 (리만 합):
→ ∫[a to b] f(x)dx = lim(n→∞) Σf(x_i)·Δx
→ 직관: 함수 아래 넓이 (부호 있음)

정적분의 성질:
→ ∫[a to b] f(x)dx = -∫[b to a] f(x)dx
→ ∫[a to a] f(x)dx = 0
→ ∫[a to b] f(x)dx + ∫[b to c] f(x)dx = ∫[a to c] f(x)dx
→ ∫[a to b] [f+g]dx = ∫[a to b]f dx + ∫[a to b]g dx

기함수·우함수 성질 (구간 [-a, a]):
→ 우함수 f(-x) = f(x): ∫[-a to a] = 2∫[0 to a]
→ 기함수 f(-x) = -f(x): ∫[-a to a] = 0

미적분학의 기본 정리

미적분학의 기본 정리 1부:
→ F(x) = ∫[a to x] f(t)dt 이면
  F'(x) = f(x)
→ 적분과 미분은 역연산

미적분학의 기본 정리 2부:
→ ∫[a to b] f(x)dx = F(b) - F(a)
→ F'(x) = f(x)인 F(x) 이용해 정적분 계산

계산 예시:
→ ∫[0 to π] sin(x)dx = [-cos(x)]₀^π
  = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 + 1 = 2

→ ∫[1 to e] (1/x)dx = [ln|x|]₁^e
  = ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1

정적분의 평균값 정리:
→ ∫[a to b] f(x)dx = f(c)(b-a)인 c가 [a,b]에 존재
→ 함수의 적분 평균값 = f(c)

적분의 응용

넓이 (Area):
→ x축 위 넓이: A = ∫[a to b] f(x)dx (f(x) ≥ 0)
→ 두 곡선 사이 넓이: A = ∫[a to b] [f(x)-g(x)]dx (f≥g)

예시: y=x² 와 y=x 사이 넓이
→ 교점: x²=x → x=0, x=1
→ A = ∫[0 to 1] (x-x²)dx = [x²/2 - x³/3]₀¹ = 1/2 - 1/3 = 1/6

회전체의 부피:
→ x축 회전: V = π·∫[a to b] [f(x)]²dx (원판법)
→ y축 회전: V = 2π·∫[a to b] x·f(x)dx (껍질법)

호의 길이 (Arc Length):
→ L = ∫[a to b] √(1 + [f'(x)]²) dx

평균값:
→ 함수의 평균: f_avg = (1/(b-a)) ∫[a to b] f(x)dx

Q. 치환 적분과 부분 적분은 언제 각각 사용하나요? A. 치환 적분은 합성함수(f(g(x)))와 그 도함수가 함께 있을 때 효과적입니다. 예를 들어 ∫f(g(x))·g’(x)dx 형태입니다. 부분 적분은 두 다른 종류의 함수가 곱해져 있을 때 사용합니다. 대표적으로 ∫x·sin(x)dx처럼 대수×삼각, ∫x·e^x dx처럼 대수×지수, ∫ln(x)dx처럼 로그가 있는 경우입니다.

Q. 정적분이 음수가 나올 수 있나요? A. 네, 가능합니다. 정적분은 함수가 x축 아래(음수)에 있으면 음수가 됩니다. 예를 들어 ∫[π to 2π] sin(x)dx = -2입니다. 실제 ‘넓이’를 구하려면 |f(x)|를 적분하거나 x축 위아래를 분리해야 합니다. 정적분은 ‘서명된 넓이(signed area)‘로 방향이 있는 개념임을 기억하세요.