경제수학 — 1강: 함수·미분과 경제적 응용

함수와 경제 모델

경제학에서 함수의 역할:
→ 경제 변수 간 관계를 수학적으로 표현
→ 예: 수요 함수 Q = f(P), 비용 함수 C = f(Q)

주요 함수 유형:

선형 함수:
→ y = a + bx (a: 절편, b: 기울기)
→ 수요: Q = 100 - 2P (P 오를수록 Q 감소)
→ b = 수요량 변화율: 가격 1 증가 → 수요 2 감소

비선형 함수:
→ 이차 함수: TC = a + bQ + cQ²
  총비용 함수 — U자형 곡선
→ 지수 함수: Y = Ae^(rt) (성장 모델)
→ 로그 함수: 탄력성 계산에 유용

합성 함수:
→ y = f(g(x)): 두 함수를 중첩
→ 예: 이윤 = TR(Q) - TC(Q) → Q에 관한 이윤 함수

역함수:
→ f(x) = y 에서 x = f⁻¹(y)
→ 공급 함수 P = g(Q) ↔ Q = g⁻¹(P)

극한과 연속성:
→ lim(x→a) f(x): x가 a에 접근할 때 함수값의 극한
→ 경제 모형에서 연속성 가정 = 소량 변화에 대한 반응 분석 가능
→ 불연속: 가격 고정·규제 한도 등 현실 반영

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미분 기초와 규칙

미분의 경제적 의미:
→ dy/dx: x가 1단위 변할 때 y의 변화율
→ 경제학에서 = 한계(Marginal) 개념

주요 미분 규칙:

멱함수 규칙:
→ d/dx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
→ 예: TC = 3Q² → dTC/dQ = 6Q (한계비용 MC)

합·차 규칙:
→ d/dx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

곱 규칙:
→ d/dx [f(x)·g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
→ 예: TR = P(Q)·Q → MR 계산 시 사용

몫 규칙:
→ d/dx [f(x)/g(x)] = [f'g - fg'] / g²

연쇄 법칙 (Chain Rule):
→ d/dx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)
→ 예: TC = (2Q + 1)³
  → dTC/dQ = 3(2Q+1)² × 2 = 6(2Q+1)²

지수·로그 미분:
→ d/dx [eˣ] = eˣ
→ d/dx [ln x] = 1/x
→ 경제 성장·복리 계산에 필수

2계 미분 (Second Derivative):
→ f''(x): 기울기의 변화율
→ 오목·볼록 판별
  f''(x) < 0: 오목(극대) → 이윤 최대화 조건 확인
  f''(x) > 0: 볼록(극소) → 비용 최소화 확인

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한계 분석

한계 개념 (Marginal Analysis):

한계 수입 (MR):
→ MR = dTR/dQ
→ TR = P·Q이면, MR = d(P·Q)/dQ
→ 독점: TR = P(Q)·Q → MR = P + Q·(dP/dQ)
→ 완전경쟁: P = MR (가격수용자)

한계 비용 (MC):
→ MC = dTC/dQ
→ U자형 MC 곡선: 초기 감소 → 이후 증가

한계 생산물 (MP):
→ MP = dTP/dL (노동 투입 L)
→ 한계 생산 체감 법칙: MP 감소 → MC 증가

이윤 최적화 조건:
→ 이윤 π = TR - TC
→ 1계 조건: dπ/dQ = MR - MC = 0 → MR = MC
→ 2계 조건: d²π/dQ² < 0 → MR 하강·MC 상승 확인

한계 수입 = 한계 비용 해석:
→ MR > MC: 추가 생산 → 이윤 증가
→ MR < MC: 생산 줄임 → 이윤 증가
→ MR = MC: 이윤 극대 (또는 손실 극소) 생산량

평균 vs 한계:
→ ATC = TC/Q
→ AFC = FC/Q
→ AVC = VC/Q
→ MC < ATC → ATC 하락 (평균은 한계에 수렴)
→ MC > ATC → ATC 상승

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탄력성

수요의 가격 탄력성 (PED):
→ Ed = (ΔQ/Q) / (ΔP/P) = (dQ/dP) × (P/Q)
→ 항상 음수 → 절댓값으로 표시
→ |Ed| > 1: 탄력적 (가격 변화에 수요 민감)
→ |Ed| < 1: 비탄력적 (가격 변화에 수요 둔감)
→ |Ed| = 1: 단위 탄력적

탄력성과 총수입 (TR):
→ 탄력적: 가격 올리면 TR 감소 (Q 많이 줄어)
→ 비탄력적: 가격 올리면 TR 증가 (Q 조금 줄어)
→ 단위 탄력적: TR 변화 없음

탄력성 결정 요인:
→ 대체재 수: 대체재 많을수록 탄력적
→ 필수품 vs 사치품
→ 측정 기간: 장기일수록 탄력적
→ 소득 대비 지출 비중

수요의 소득 탄력성:
→ Ey = (ΔQ/Q) / (ΔY/Y)
→ Ey > 0: 정상재 (소득 오르면 수요 증가)
→ Ey > 1: 사치재
→ Ey < 0: 열등재

수요의 교차 탄력성:
→ Exy = (ΔQx/Qx) / (ΔPy/Py)
→ 양수: 대체재 (커피 가격 오르면 차 수요 증가)
→ 음수: 보완재 (커피 가격 오르면 설탕 수요 감소)

로그 선형 수요 함수:
→ ln Q = a + b·ln P → b = 탄력성 (상수)
→ 로그 미분으로 탄력성 직접 읽기 가능

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비용 함수 분석

단기 총비용 구조:
→ TC = FC + VC
→ FC: 고정비용 (설비·임대료 — 생산량 무관)
→ VC: 변동비용 (원자재·노동 — 생산량 비례)

단기 비용 함수 예시:
→ TC = 100 + 10Q + Q²
  FC = 100, VC = 10Q + Q²
  MC = dTC/dQ = 10 + 2Q
  ATC = 100/Q + 10 + Q

최소 ATC 생산량:
→ d(ATC)/dQ = 0
→ -100/Q² + 1 = 0 → Q = 10
→ 검증: MC = ATC → 10 + 20 = 100/10 + 10 + 10 = 30

규모의 경제·불경제:
→ LTC (장기 총비용): 모든 요소 가변
→ 장기 평균비용 (LAC):
  규모의 경제: LAC 하락 구간
  규모의 불경제: LAC 상승 구간
  최소 효율 규모: LAC 최저점

관계 확인:
→ MC = AC인 점: AC 최솟값
→ MC < AC: AC 하락
→ MC > AC: AC 상승
→ 이 관계는 MC·ATC·AVC 모두에 성립

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자주 묻는 질문

Q. 한계비용이 U자형인 이유는 무엇인가요? A. 한계비용의 U자형은 생산 과정의 두 가지 힘을 반영합니다. 생산 초기에는 노동 투입이 증가함에 따라 분업·전문화 효과로 한계 생산성이 높아지고, 이에 따라 추가 생산 단위당 비용이 감소합니다. 그러나 자본(기계·공장)이 고정된 단기에는 노동 투입이 계속 늘면 한계 생산 체감 법칙이 작동해 추가 노동의 효율이 낮아지고 한계비용이 다시 상승합니다. 한계비용의 최솟값은 평균 가변비용의 최솟값과 일치합니다.

Q. 이윤 극대화 조건 MR=MC는 왜 2계 조건도 필요한가요? A. 1계 조건 MR=MC는 이윤 함수의 극값(극대 또는 극소) 조건이지, 반드시 극대를 보장하지 않습니다. 2계 조건인 d²π/dQ² < 0은 그 극값이 실제로 극대(이윤이 최대)임을 확인합니다. 예를 들어 이윤 함수가 S자 형태라면 MR=MC가 성립하는 점이 여러 개 있을 수 있는데, 그중 하나는 이윤 극소(손실 극대)일 수 있습니다. 2계 조건을 통해 전 구간에서 실제 이윤 최대 생산량을 찾아야 합니다.