경제수학 — 미분은 한계를 적는 문법이다

이 과정은 미적분 입문이 아니다. 학부에서 도함수를 본 사람이, 수요·비용·이윤 식에서 어느 도함수가 어떤 경제량인지를 다시 고정한다. 적분은 2장, 제약은 3장, 동학은 4장, 행렬은 5장이다.

1. 한계는 평균이 아니다

수요 Q=100-2P이면 가격 1원 상승당 수량은 2단위 줄어든다. 이 기울기 -2는 점이 아니라 선형이라 어디서나 같다. 총비용 TC=10+6Q+Q^2(만 원)이면

한계비용

MC = dTC/dQ = 6 + 2Q

Q=4에서 MC=14만 원. 평균비용 ATC=TC/Q=10/Q+6+Q 는 Q=4에서 12.5만 원. 한계와 평균이 갈라진다.

Q=4에서 한 대를 더 만드는 비용은 14만 원이지, 지금까지의 평균 12.5만 원이 아니다. 4장의 이윤 규칙이 평균이 아니라 한계를 쓰는 이유다.

탄력성은 단위를 지운 도함수다.

점탄력성

\varepsilon = (dQ/dP)·(P/Q)

Q=100-2P, P=20이면 Q=60, ε=-2·(20/60)=-2/3. |ε|<1 이라 이 점에서 가격 인상은 매출을 늘린다.

매출 TR=P·Q=20×60=1,200만 원. 가격 21이면 Q=58, TR=1,218만 원. 비탄력 구간의 계산과 맞다.

π=TR-TC, TR=40Q, TC=10+6Q+Q^2이면 π=34Q-Q^2-10. dπ/dQ=34-2Q=0에서 Q=17. d²π/dQ²=-2<0이라 극대다. MC=6+2Q가 34와 만나는 점과 같다.

연쇄법칙은 합성 생산에 바로 쓰인다. Q=F(K(t))이면 dQ/dt=F'(K)·K'(t). 자본이 시간에 따라 변할 때 산출 변화는 한계생산×투자의 곱이다. 3장의 최적화와 이어진다.

TC=100+20Q+Q^2(만 원), P=80만 원인 경쟁기업. 최적 수량은? MC=20+2Q=80, Q=30. 이때 ATC=100/30+20+30≈53.3만 원이라 대당 이윤은 약 26.7만 원이다. P=AVC가 아니라 P=MC에서 고른다.

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 6–9
Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists, ch. 3–5
MIT OpenCourseWare, 14.01 Principles of Microeconomics