경제수학 — 3강: 게임이론과 최적화

게임이론 기초

게임이론의 의의:
→ 전략적 상호의존 상황의 수학적 분석
→ 내 행동의 최적이 상대의 선택에 달림
→ 경제·국제 관계·생물학·컴퓨터과학 응용

전략형 게임 (Normal Form):
→ 구성 요소: 경기자 (Players)·전략 (Strategies)·보수 (Payoffs)
→ 보수 행렬 (Payoff Matrix)로 표현

우월 전략 (Dominant Strategy):
→ 상대 전략에 관계없이 항상 최선인 전략
→ 약한 우월 전략: 항상 최소한 같거나 더 높은 보수

내쉬 균형 (Nash Equilibrium):
→ 어느 경기자도 일방적 이탈로 이익을 얻지 못하는 전략 조합
→ 정의: (s*₁, s*₂)가 내쉬균형
  → 각 경기자가 상대 전략 고정 시 자신의 최선 반응
→ 내쉬: 균형은 항상 존재한다 (혼합전략 포함)

최선 반응 (Best Response):
→ BR₁(s₂): 경기자 1이 s₂에 대한 최선 반응
→ 내쉬 균형: s₁* ∈ BR₁(s₂*) AND s₂* ∈ BR₂(s₁*)
→ 최선 반응 함수의 교점 = 내쉬 균형

혼합 전략 내쉬 균형:
→ 확률적으로 전략 혼합
→ 순수 전략 균형 없을 때 혼합 전략 균형 존재
→ 상대를 무차별하게 만드는 확률 선택

주요 게임 유형

죄수의 딜레마 (Prisoner's Dilemma):

보수 행렬 (협력/배신):
→ 둘 다 협력: (3, 3)
→ 1 배신·2 협력: (5, 0)
→ 1 협력·2 배신: (0, 5)
→ 둘 다 배신: (1, 1)

분석:
→ 각 경기자의 우월 전략: 배신
→ 내쉬 균형: (배신, 배신) → 보수 (1, 1)
→ 파레토 최적: (협력, 협력) → (3, 3)
→ 사회적 최적과 개인 합리성 충돌 → 시장 실패 설명

응용:
→ 군비 경쟁·환경 협약·가격 경쟁·카르텔 붕괴

조정 게임 (Coordination Game):
→ 동일 균형 도달이 중요 (표준화 문제)
→ 예: 운전 방향(좌·우), 기술 표준

순서 게임 (Sequential Game):
→ 전개형 (게임 트리)으로 표현
→ 후방 귀납법 (Backward Induction): 최후부터 역산
→ 완전 균형 (Subgame Perfect NE)

스택켈버그 균형:
→ 선도자(1st mover) 먼저 결정
→ 선도자 이득: 1등 기회를 활용

치킨 게임:
→ 둘 다 양보: 작은 보수
→ 한쪽 직진: 직진자 큰 보수
→ 둘 다 직진: 최악 결과
→ 순수 전략 내쉬균형 2개, 혼합 전략 균형 1개

반복 게임과 협력

반복 게임 (Repeated Game):
→ 동일 게임을 여러 번 반복
→ 평판·응보 가능 → 협력 유인 발생

유한 반복 게임:
→ 마지막 라운드: 한 번만 하는 게임과 동일 → 배신
→ 역방향 귀납: 모든 라운드에서 배신 → 협력 불가능
→ 종료 시점 불명확하면 협력 가능

무한 반복 게임:
→ 할인 인자 δ (0 < δ < 1): 미래 보수의 현재 가치
→ 동기 전략 (Tit-for-Tat): 처음 협력 → 상대 행동 따라
→ 민간 정리 (Folk Theorem):
  δ 충분히 크면 (미래 중요하면) 다양한 협력 균형 가능
  조건: 협력 보수 > 배신 1회 이득 × (1-δ)/δ

응용:
→ 과점 기업 간 암묵적 담합
→ 국가 간 무역 협약 준수
→ 반복 거래에서 신뢰 형성

경매 이론:
→ 영국식 경매: 가격 상승 → 최고가 제시자 낙찰
→ 네덜란드식: 가격 하락 → 처음 수락자 낙찰
→ 봉인 입찰 (1가격): 최고가 제시자 최고가 지불
→ 봉인 입찰 (2가격·비크리): 최고가 제시자, 2위 가격 지불
  진실 보고가 우월 전략 (incentive compatible)

다변수 최적화

다변수 함수 최적화:

2변수 함수 f(x, y)의 극값:

1계 조건 (First-Order Conditions):
→ ∂f/∂x = 0
→ ∂f/∂y = 0
→ 두 조건 동시 만족 → 임계점

2계 조건 (Second-Order Conditions):
→ 헤시안 행렬 (Hessian):
  H = [fxx, fxy; fyx, fyy]
→ det(H) > 0 AND fxx < 0 → 극대
→ det(H) > 0 AND fxx > 0 → 극소
→ det(H) < 0 → 안장점 (Saddle Point)

등제약 최적화 — 라그랑주 승수법:
→ 목적함수: Maximize f(x, y)
→ 제약조건: g(x, y) = c
→ 라그랑지안: L = f(x, y) - λ[g(x, y) - c]

조건:
→ ∂L/∂x = ∂f/∂x - λ∂g/∂x = 0
→ ∂L/∂y = ∂f/∂y - λ∂g/∂y = 0
→ ∂L/∂λ = -(g(x,y) - c) = 0

λ의 해석:
→ 제약 완화 시 목적함수 변화량 (잠재가격·잠재가치)
→ λ = 1이면 제약 1단위 완화 → 목적함수 λ만큼 증가

경제 응용:
→ 효용 극대화: Maximize U(x,y) s.t. pₓx + pᵧy = M
→ 비용 최소화: Minimize wL + rK s.t. Q = f(L, K)

선형계획법 (Linear Programming)

선형계획법 기본 형태:
→ 목적함수: Maximize(또는 Minimize) Z = c'x
→ 제약조건: Ax ≤ b (또는 = b)
→ 비음조건: x ≥ 0

그래프 해법 (2변수):
① 제약조건 직선 그리기
② 실현 가능 영역 (Feasible Region) 식별
③ 목적함수 직선을 이동시켜 최적 꼭짓점 찾기
→ 최적해는 반드시 꼭짓점에 존재

심플렉스법 (Simplex Method):
→ 꼭짓점을 체계적으로 탐색하는 알고리즘
→ 비기저변수 = 0, 기저변수 > 0으로 시작
→ 목적함수 증가 방향으로 꼭짓점 이동 반복

쌍대 문제 (Dual Problem):
→ 원래 LP (주문제)와 대응되는 쌍대 LP
→ 주문제 최댓값 = 쌍대 최솟값 (강쌍대 정리)
→ 쌍대 변수 = 라그랑주 승수 λ = 제약 자원의 잠재가격

경제 응용:
→ 생산 계획: 여러 제품 최적 생산량 결정
→ 수송 문제: 공장 → 창고 배송 비용 최소화
→ 포트폴리오: 수익 극대화 (위험 제약)

정수 계획법 (Integer Programming):
→ 변수가 정수여야 할 때 (공장 개수·직원 수)
→ Branch and Bound 알고리즘
→ LP에 비해 계산 복잡도 높음

Q. 내쉬 균형이 항상 사회적으로 최적인가요? A. 아닙니다. 죄수의 딜레마에서 보듯이 내쉬 균형은 개인적으로 합리적인 전략의 결과이지만, 사회 전체 관점에서는 최적이 아닐 수 있습니다. 두 경기자가 모두 배신하는 내쉬 균형에서는 (1, 1)의 보수를 얻지만, 둘 다 협력하면 (3, 3)의 더 나은 결과가 가능합니다. 이러한 불일치가 시장 실패의 원인이 됩니다. 환경 오염·공공재 과소 공급·카르텔 붕괴 등 다양한 경제 현상을 이 틀로 설명할 수 있습니다.

Q. 라그랑주 승수의 경제적 의미는 무엇인가요? A. 라그랑주 승수 λ는 제약 조건이 1단위 완화될 때 목적함수가 얼마나 변하는지를 나타내는 잠재 가격(Shadow Price)입니다. 예를 들어 소득 제약 하에서 효용 극대화 문제에서 λ는 소득이 1원 증가할 때 최대 효용이 얼마나 증가하는지를 나타냅니다. 생산 문제에서는 예산이 1원 증가할 때 얼마나 더 생산할 수 있는지를 의미합니다. 이 개념은 자원의 한계 가치를 평가하는 데 유용하며, 선형계획법의 쌍대 변수와 동일한 의미를 가집니다.