경제수학 — 제약 최적화와 라그랑주 승수

경제수학 — 제약이 있을 때 도함수만으로는 부족하다

무제약이면 \nabla f=0이 1계 조건이다. 예산·자원 제약이 있으면 그 경계를 따라 움직여야 한다. 라그랑주는 제약을 가격처럼 취급하는 기법이다. 여러 사람이 동시에 고르는 내쉬·혼합전략은 미시 게임이론이다. 이 장은 한 의사결정자의 극값만 다룬다.

1. 승수는 제약 1단위의 목적함수 가치다

\max u=xy s.t. 2x+y=12. L=xy+\lambda(12-2x-y).

1계 조건

y=2\lambda,\quad x=\lambda,\quad 2x+y=12

λ=x, y=2x. 예산에 넣으면 2x+2x=12, x=3, y=6, λ=3. 예산이 13원이 되면 효용은 약 3만큼 늘어난다.

x=3,y=6에서 u=18. 예산 13원이면 x=3.25,y=6.5, u=21.125. 증가분 3.125로 \lambda=3의 근사와 맞는다. 이것이 MU_x/P_x=\lambda다. 소비자 이론의 원당 한계효용이다.

2. 부등식과 비음이면 코너가 해다

KKT는 등식 라그랑주에 여유 있는 제약의 상보성을 붙인다. 어떤 재화의 원당 한계효용이 다른 재화보다 낮으면 그 재화는 0에서 멈춘다. “항상 내부 접점”은 양의 소비를 가정한 특수해다.

한 사람이 고를 때 쓰는 도구
도구	제약	해가 말하는 것
1계 조건	없음	정점 후보
라그랑주	등식	경계 위의 극값과 λ
KKT	부등식·비음	어느 제약이 묶이는지

2계 조건은 헤시안이 음정부호(최대)인지 본다. 1계만 맞추고 안장점을 이윤 최대로 읽으면 생산량을 반대로 고른다. 1장의 평균·한계 구분과 같다.

시간이 붙으면 같은 1계 조건이 미분방정식이 된다. 그 정상상태의 안정성은 4장이다.

확인문제

예산이 12원에서 18원으로 50% 늘었는데 λ가 그대로 3이면 효용은 약 18만큼 늘 것처럼 보이지만, Cobb–Douglas에서 소득 효과로 소비가 늘면 한계효용이 떨어져 λ도 변한다. 선형 근사 \Delta u \approx \lambda \Delta m = 3 \times 6원 = 18은 작은 변화에만 유효하다. 50%는 작지 않다.

참고 자료

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 12
Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists, ch. 18–19
혼합전략·반복 게임은 미시경제학 게임이론