Matemáticas para economistas — Optimización con restricciones y multiplicador de Lagrange

Matemáticas para economistas — con restricciones, las derivadas solas no bastan

Sin restricciones, $\nabla f=0$ es la condición de primer orden. Con una restricción presupuestaria o de recursos, hay que moverse a lo largo de su frontera. El lagrangiano es una técnica que trata la restricción como un precio. Los equilibrios de Nash y las estrategias mixtas, en los que varias personas eligen a la vez, pertenecen a la teoría de juegos de la microeconomía. Este capítulo trata solo los extremos de un único decisor.

1. El multiplicador es el valor de una unidad de restricción para el objetivo

$\max u=xy$ s.a. $2x+y=12$ . $L=xy+\lambda(12-2x-y)$ .

Condiciones de primer orden

y=2\lambda,\quad x=\lambda,\quad 2x+y=12

λ=x e y=2x. Sustituyendo en el presupuesto, 2x+2x=12, así que x=3, y=6 y λ=3. Si el presupuesto pasa a 13 wones, la utilidad sube unos 3.

En $x=3, y=6$ , $u=18$ . Con un presupuesto de 13 wones, $x=3{,}25, y=6{,}5$ y $u=21{,}125$ : el aumento de 3,125 concuerda con la aproximación $\lambda=3$ . Esto es $\mathrm{MU}_x/P_x=\lambda$ , la utilidad marginal por won de la teoría del consumidor.

2. Con desigualdades y no negatividad, una esquina puede ser la solución

KKT añade al lagrangiano de igualdad la holgura complementaria de las restricciones no activas. Si la utilidad marginal por won de un bien es menor que la de otro, el consumo de ese bien se detiene en cero. «Siempre una tangencia interior» es una solución particular que supone consumo positivo.

Herramientas de un único decisor
Herramienta	Restricción	Qué dice la solución
Condiciones de primer orden	Ninguna	Candidatos a punto estacionario
Lagrangiano	Igualdad	Extremos en la frontera y λ
KKT	Desigualdad, no negatividad	Qué restricciones están activas

La condición de segundo orden comprueba si la hessiana es definida negativa (para un máximo). Cumplir solo el primer orden y leer un punto de silla como beneficio máximo lleva a elegir la producción al revés. Es lo mismo que la distinción entre media y margen del capítulo 1.

Cuando se añade el tiempo, las mismas condiciones de primer orden se convierten en ecuaciones diferenciales. La estabilidad de su estado estacionario se trata en el capítulo 4.

Ejercicio

Si el presupuesto sube un 50 %, de 12 a 18 wones, la aproximación lineal sugiere que la utilidad aumenta $\Delta u \approx \lambda \Delta m = 3 × 6 = 18$ . En realidad $x=4{,}5, y=9$ y $u=40{,}5$ , un aumento de 22,5, y el nuevo multiplicador es $\lambda=x=4{,}5$ . Con esta función de utilidad λ crece con la renta, así que la aproximación lineal solo vale para cambios pequeños. Un 50 % no es pequeño.

Referencias

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 12
Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists, ch. 18–19
Harold Kuhn and Albert Tucker, «Nonlinear Programming», Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability (1951)