Matemáticas para economistas — Matrices y análisis input-output

Matemáticas para economistas — las matrices resuelven de una vez la interdependencia entre industrias, no un solo mercado

La integral del capítulo 2 es el área bajo una sola curva. Cuando los bienes se usan unos a otros como insumos intermedios, sumar esas áreas industria por industria no da la producción total. Este capítulo repasa por qué $(I-A)^{-1}$ cierra ese circuito.

1. La demanda final y la producción total no son el mismo vector

El elemento $(i,j)$ de la matriz de coeficientes técnicos $A$ es la cantidad de i necesaria para producir una unidad de j. Si la demanda final es $d$ , la producción total $x$ debe satisfacer a la vez la demanda intermedia $Ax$ y la demanda final.

Sistema de Leontief

x = Ax + d \quad \Rightarrow \quad x = (I-A)^{-1}d

Cada columna de la inversa indica cuánto deben producir todas las industrias para atender una unidad de demanda final de esa industria.

Con $A=[[0{,}2;0{,}3],[0{,}1;0{,}4]]$ y $d=(100;80)$ , $I-A=[[0{,}8;-0{,}3],[-0{,}1;0{,}6]]$ . El determinante es $0{,}48-0{,}03=0{,}45$ . La inversa es $(1/0{,}45)[[0{,}6;0{,}3],[0{,}1;0{,}8]]$ . La producción total es $(84/0{,}45 ; 74/0{,}45)$ , aproximadamente $(186{,}7 ; 164{,}4)$ unidades, más que la demanda final de 100 y 80 unidades. La diferencia es la circulación de insumos intermedios.

2. Tener inversa no hace viable una técnica

Lo que hacen las matrices en economía
Objeto	Expresión	Cuándo falla
Input-output	(I-A)^{-1}d	Falla Hawkins–Simon, radio espectral de 1 o más
Estática comparativa con dos bienes	Signos del jacobiano	Fuera de la linealización local
Cartera	Matriz de covarianzas	Matriz singular, correlación perfecta

La condición de Hawkins–Simon exige que los menores principales dominantes de $(I-A)$ sean positivos. Poder introducir números no es lo mismo que disponer de una técnica productiva. El jacobiano de la estática comparativa es la versión de varias variables de las derivadas del capítulo 1. La matriz de covarianzas es lo que las finanzas corporativas (en coreano) leen como riesgo.

Las tablas input-output del Banco de Corea amplían este 2×2 a decenas de industrias. La aritmética es la misma. Si cambian la clasificación o el tratamiento de las importaciones, $x$ cambia aunque $d$ sea el mismo.

Ejercicio

Con la $A$ anterior, si solo la demanda final de la segunda industria sube 20, de 80 a 100, se multiplica la segunda columna de la inversa, $(1/0{,}45)(0{,}3 ; 0{,}8) \approx (0{,}667 ; 1{,}778)$ , por 20: la producción total sube unas 13,3 y 35,6 unidades. Solo aumentó la demanda de la segunda industria y, sin embargo, la primera produce 13,3 unidades más. Sin vínculos intermedios, esa cifra sería 0.

Referencias

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 15–16
Wassily Leontief, Input-Output Economics
Banco de Corea, Tablas input-output (en coreano)