경제수학 — 행렬과 투입산출

경제수학 — 행렬은 한 시장이 아니라 산업 간 의존을 한 번에 푼다

2장의 적분은 한 곡선 아래 면적이다. 재화가 서로를 중간재로 쓰면 그 면적을 산업마다 따로 더해서는 총산출이 안 나온다. 이 장은 (I-A)^{-1}이 그 순환을 닫는 이유를 복습한다.

1. 최종수요와 총산출은 같은 벡터가 아니다

중간 투입계수 A의 (i,j) 성분은 j 한 단위를 만들 때 필요한 i의 양이다. 최종수요가 d이면 총산출 x는 중간수요 Ax와 최종수요를 동시에 만족해야 한다.

레온티예프 체계

x = Ax + d \quad \Rightarrow \quad x = (I-A)^{-1}d

역행렬의 각 열은 그 산업 최종수요 1단위를 충당하려고 전 산업이 얼마나 돌아야 하는지를 가리킨다.

A=[[0.2,0.3],[0.1,0.4]], d=(100,80)이면 I-A=[[0.8,-0.3],[-0.1,0.6]]. 행렬식은 0.48-0.03=0.45. 역행렬은 (1/0.45)[[0.6,0.3],[0.1,0.8]]. 총산출은 대략 (144.4개, 155.6개)이다. 최종수요 100개와 80개보다 크다. 그 차이가 중간재 순환이다.

2. 역행렬이 있다고 기술이 산 것은 아니다

행렬이 경제학에서 하는 일
대상	식	실패할 때
투입산출	(I-A)^{-1}d	호킨스–사이먼 실패, 스펙트럴 반경이 1 이상
두 재 비교정태	야코비안 부호	국소 선형화 밖
포트폴리오	공분산 행렬	특이행렬, 완전상관

호킨스–사이먼 조건은 (I-A)의 선행 주 소행렬식이 양일 것을 요구한다. 숫자를 넣을 수 있다는 것과 그 기술이 생산적인 것은 다르다. 비교정태의 야코비안은 1장 미분의 여러 변수 판이다. 공분산 행렬은 재무관리가 위험으로 읽는다.

한국은행 산업연관표는 이 2×2를 수십 산업으로 확장한 표다. 산술은 같다. 분류와 수입 처리가 바뀌면 같은 d에도 x가 바뀐다.

확인문제

위 A에서 최종수요만 두 번째 산업이 80에서 100으로 20 늘어나면, 역행렬 둘째 열 (1/0.45)(0.3, 0.8) \approx (0.667, 1.778)에 20을 곱해 총산출은 약 13.3개와 35.6개만큼 는다. 둘째 산업만 늘렸는데 첫째도 13.3개가 따라 는다. 중간재 링크가 없으면 첫째는 0이어야 한다.

참고 자료

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 15–16
Wassily Leontief, Input-Output Economics
한국은행, 산업연관표