경제수학 — 동학과 안정성

경제수학 — 정태 최적은 시간이 붙으면 미분방정식이 된다

비교정태는 한 점에서 다른 점으로 점프한다. 동학은 그 사이 경로가 실제로 가는지, 정상상태로 돌아오는지를 묻는다. 거시 성장론이 이 문법을 쓴다.

1. 1계 선형의 해와 안정성

\dot x = -a(x-x*), a>0이면 x(t)=x*+(x0-x*)e^{-at}. t→∞에서 x*로 간다. a<0이면 발산한다. 부호가 안정성을 가른다.

솔로우의 1인당 자본 k는 \dot k = s f(k) - (δ+n)k. 정상상태 s f(k*)=(δ+n)k*. f(k)=\sqrt k, s=0.2, δ+n=0.1이면 0.2\sqrt k=0.1 k, \sqrt k=2, k*=4. k0=1이면 저축이 마모·인구를 이겨 올라가고, k0=9이면 내려온다.

정상상태

s f(k^*) = (\delta+n)k^*

저축으로 쌓는 양과 희석·감가가 같아지는 자본 수준. 황금률은 소비를 극대화하는 s를 따로 고른다.

황금률은 f'(k_gold)=δ+n이다. 위 숫자에서 f'=1/(2\sqrt k)=0.1, \sqrt k=5, k=25. k*=4는 황금률보다 작다. 저축률을 높이면 정상 소비가 늘 수 있다. 반대로 과잉저축이면 저축을 줄여야 한다.

2. 위상도는 화살표지, 계수가 아니다

\dot k>0인 구간과 <0인 구간을 나누는 점이 정상상태다. 그림이 예쁘다고 계수를 읽은 것이 아니다. 선형화 \dot{\tilde k}=[sf'(k*)-(δ+n)]\tilde k의 괄호가 음이어야 국소 안정이다. 수확 체감 f'<s 조건과 맞물린다.

정태 vs 동학
질문	정태	동학
저축률이 오르면	k*가 커진다	k가 k*로 가는 속도
충격 후	새 균형점	경로가 진동인지 단조인지
정책	장기 수준	전환 세대의 소비

최적통제(해밀턴)는 이 장의 다음 문턱이다. 소비-저축의 오일러 식 u'(c_t)=β(1+r)u'(c_{t+1})가 그 1계 조건이다. 개론 승수와 다른 층이다.

확인문제

저축률이 20%에서 30%로 오르면 새 k*는? 0.3\sqrt k=0.1k, \sqrt k=3, k*=9. 자본이 4에서 9로 가는 동안 소비는 한동안 낮아질 수 있다. 장기 수준만 보고 “저축 증가는 항상 이득”이라고 쓰지 않는다. 경로의 세대가 비용을 낸다.

참고 자료

Robert Solow, “A Contribution to the Theory of Economic Growth,” QJE (1956)
Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 14–15
MIT OpenCourseWare, 14.02 Principles of Macroeconomics