경제수학 — 2강: 적분·행렬과 경제적 응용

적분 기초

부정 적분 (Indefinite Integral):
→ ∫f(x)dx = F(x) + C (C: 적분 상수)
→ 미분의 역 연산

기본 적분 공식:
→ ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
→ ∫1/x dx = ln|x| + C
→ ∫eˣdx = eˣ + C
→ ∫eᵃˣdx = (1/a)eᵃˣ + C

적분 기법:

치환 적분:
→ ∫f(g(x))g'(x)dx: u = g(x) 로 치환
→ 예: ∫(2x+1)⁵dx → u = 2x+1

부분 적분:
→ ∫u·dv = uv - ∫v·du
→ LIATE 순서: 로그·역삼각·대수·삼각·지수
→ 예: ∫x·eˣdx = xeˣ - eˣ + C

정적분 (Definite Integral):
→ ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)
→ 기하학적 의미: 그래프와 x축 사이 면적
→ 부호: 양(x축 위) / 음(x축 아래)

미적분의 기본 정리:
→ 연속 함수 f에 대해
  d/dx[∫[a,x] f(t)dt] = f(x)
→ 미분과 적분은 역연산

적분의 경제적 응용

소비자 잉여 (Consumer Surplus):
→ 소비자가 지불할 의향이 있는 가격 - 실제 시장 가격
→ CS = ∫[0, Q*] D(Q)dQ - P*Q*
→ 수요 곡선과 가격선 사이 면적

생산자 잉여 (Producer Surplus):
→ 실제 시장 가격 - 공급자의 최소 수용 가격
→ PS = P*Q* - ∫[0, Q*] S(Q)dQ
→ 가격선과 공급 곡선 사이 면적

총 잉여 (Total Surplus) = CS + PS:
→ 자유 시장 균형에서 총 잉여 극대화
→ 정부 규제·독점 → 사중손실(Deadweight Loss) 발생

자본 축적:
→ dK/dt = I(t) (투자 = 자본 증가율)
→ K(t) = K₀ + ∫[0,t] I(s)ds
→ 투자의 총합 = 자본 스톡 변화량

현재 가치와 미래 가치:
→ PV = ∫[0,T] f(t)·e^(-rt) dt
→ 연속 복리로 할인
→ 영구 연금: PV = R/r (일정 수입 R, 이자율 r)

소비 함수 복원:
→ 한계소비성향 MPC = dC/dY
→ 소비 함수 C(Y) = C₀ + ∫MPC dY
→ 기준점 조건으로 C₀ 결정

행렬 (Matrix)

행렬의 정의:
→ m × n 행렬: m 행(row) × n 열(column)
→ aᵢⱼ: i행 j열 원소

행렬 연산:

덧셈·뺄셈:
→ 같은 크기 행렬끼리 원소별 연산
→ A + B = [aᵢⱼ + bᵢⱼ]

스칼라 곱:
→ cA = [c·aᵢⱼ]

행렬 곱셈 (A × B):
→ A: m×k, B: k×n → AB: m×n
→ (AB)ᵢⱼ = Σ aᵢₖ·bₖⱼ
→ 주의: AB ≠ BA (교환법칙 성립 안 함)
→ 결합법칙: (AB)C = A(BC) 성립
→ 분배법칙: A(B+C) = AB + AC 성립

전치 행렬:
→ Aᵀ: A의 행·열 교환
→ (AB)ᵀ = BᵀAᵀ

항등 행렬 (I):
→ 주대각선 1, 나머지 0
→ AI = IA = A

역행렬 (A⁻¹):
→ AA⁻¹ = A⁻¹A = I
→ 2×2 행렬: A⁻¹ = (1/det A) × [d, -b; -c, a]
→ det A = ad - bc (행렬식, 판별식)
→ det A = 0 이면 역행렬 없음 (singular)

크래머 법칙:
→ n×n 연립방정식 Ax = b
→ xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)
→ Aᵢ: A의 i열을 b로 대체

행렬의 경제적 응용

연립 방정식 풀기:
→ Ax = b 형태로 변환
→ x = A⁻¹b (역행렬 사용)
→ 가우스 소거법: 행 연산으로 상삼각 행렬 만들기

수요·공급 동시 균형:
→ 두 시장 연립 방정식
  Q₁ = a₁ + b₁P₁ + c₁P₂ (수요 1)
  Q₁ = d₁ + e₁P₁ (공급 1) ... 행렬로 묶어 풀기

투입·산출 분석 (Leontief Input-Output):
→ 경제 산업 간 거래 관계 분석
→ Ax + f = x (A: 기술 행렬, f: 최종 수요)
→ x = (I - A)⁻¹ f
→ (I - A)⁻¹: 레온티에프 역행렬 (승수 효과)
→ 최종 수요 1단위 증가 → 총 생산 파급 효과 계산

국민 소득 결정 모형:
→ Y = C + I + G (균형 조건)
→ C = a + bY (소비 함수)
→ I, G 외생 → Y = (a + I + G) / (1 - b)
→ 행렬 형태: 다부문 모형으로 확장

선형 프로그래밍 (LP):
→ Maximize/Minimize Z = c'x
→ Subject to: Ax ≤ b, x ≥ 0
→ 심플렉스법: 행렬 연산 기반
→ 경제학: 자원 배분 최적화

동태 분석 기초

차분 방정식 (Difference Equation):
→ 이산 시간 모형 (t = 0, 1, 2, ...)
→ 1계 선형: yₜ = ayₜ₋₁ + b
→ 해: yₜ = (y₀ - y*)aᵗ + y*
  y*: 균제 상태 (steady state) = b/(1-a)
→ 안정 조건: |a| < 1 → t → ∞ 일 때 yₜ → y*

미분 방정식 (Differential Equation):
→ 연속 시간 모형
→ 1계 선형: dy/dt = ay + b
→ 해: y(t) = (y₀ - y*)eᵃᵗ + y*
  y* = -b/a
→ 안정 조건: a < 0 → 균제 상태 수렴

소비-저축 모형 동태:
→ 케인즈 모형: Yt = C(Yt-1) + I (소비 전기 소득 의존)
→ 1계 차분 방정식 → 수렴 조건: MPC < 1
→ 균제 상태: Y* = (I + C₀) / (1 - MPC)

시장 균형의 동태적 안정성:
→ 거미집 이론 (Cobweb Model):
  현재 공급 = 전기 가격 기대 기반
  Pₜ = 수요 역함수(Qₜ), Qₜ = 공급(Pₜ₋₁)
→ 수렴 조건: |공급 기울기| < |수요 기울기|

위상 분석 (Phase Diagram):
→ dy/dt = 0 isocline: 균제 상태 선
→ 화살표 방향으로 동학 파악
→ 새들 패스·안정·불안정 균제 상태 구별

Q. 소비자 잉여와 사중손실은 어떻게 연결되나요? A. 자유 시장 균형에서는 소비자 잉여와 생산자 잉여의 합(총 잉여)이 극대화됩니다. 그러나 최저 가격제, 최고 가격제, 독점 또는 세금 부과 등의 개입이 이루어지면 거래량이 효율적 수준에서 벗어납니다. 이때 총 잉여가 감소하는데, 이 감소분이 사중손실(Deadweight Loss)입니다. 사중손실은 수요·공급 곡선 사이의 삼각형 면적으로 시각화할 수 있으며, 시장 비효율의 크기를 나타냅니다.

Q. 레온티에프 투입산출 행렬은 어떻게 활용되나요? A. 레온티에프 모형은 경제 산업 간 상호 의존 관계를 행렬로 표현해, 최종 수요 변화가 각 산업 총 생산량에 미치는 파급 효과를 계산합니다. 예를 들어 자동차 산업에 대한 최종 수요가 1억 원 증가하면 철강·유리·전자 등 공급 산업도 얼마나 생산을 늘려야 하는지 역행렬 (I-A)⁻¹ 계산으로 알 수 있습니다. 국가 산업연관표 작성, 경제 정책 효과 분석, 탄소 배출 파급 효과 등 다양한 분야에 활용됩니다.