경제수학 — 적분과 잉여·총량의 복원

경제수학 — 적분은 한계를 다시 합치는 연산이다

1장이 도함수로 한계를 읽었다면, 이 장은 그 한계를 더해 총량과 잉여를 되돌린다. 산업 간 의존을 한 번에 푸는 행렬은 5장이다. 제약 최적화는 3장이다.

1. 정적분은 면적이고, 그 면적이 잉여다

수요 P=100-Q, 가격 40원이면 거래량 60. 소비자잉여는 ∫_0^60 (100-Q-40)\,dQ = [60Q - Q^2/2]_0^{60} = 1,800원.

공급이 P=10+Q이면 같은 가격에서 생산자잉여는 ∫_0^{60} (40-(10+Q))\,dQ = 900원. 총잉여는 2,700원이다. 세금이 끼면 이 면적에서 사중손실이 빠진다. 미시 조세 장이 그 그림을 쓴다.

가변비용과 MC

TVC(Q) = \int_0^Q MC(q)\,dq

MC=6+2q 이면 TVC=6Q+Q^2. 고정비는 적분의 상수로 남는다. 적분만으로 고정비를 복원할 수 없다.

2. 부정적분의 상수는 경제에서 고정비다

미적분학의 기본정리는 d/dQ ∫_0^Q MC = MC라고 말해 준다. 한계에서 총으로 갔다가 다시 한계로 돌아온다. 다만 +C가 관측되지 않으면 총비용의 수준은 비어 있다. 자료가 한계비용 곡선만 있으면 고정비는 회계나 실험으로 따로 가져와야 한다.

적분이 되돌리는 것, 되돌리지 못하는 것
적분	얻는 것	못 얻는 것
수요-가격	소비자잉여	소득효과의 정확한 분해
MC	가변비용	고정비 C
한계효용	효용 차이	원점의 효용 수준

로그 선형화 d \ln Y = \varepsilon\, d \ln X는 탄력성을 덧셈으로 만든다. 성장 회계의 출발이다. 그 탄력성이 제약 최적화의 승수와 만나는 자리는 3장이다.

확인문제

수요 P=80-2Q, 가격 20원. 소비자잉여는? Q=30, ∫_0^{30} (80-2q-20)\,dq = [60q - q^2]_0^{30} = 1,800-900=900원. 가격을 10원으로 내리면 80-2Q=10, Q=35. ∫_0^{35} (70-2q)\,dq = 70\times35 - 35^2 = 2,450-1,225=1,225원. 면적이 가격 하락과 수량 증가를 같이 담는다.

참고 자료

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 13–14
Hal Varian, Intermediate Microeconomics, consumer/producer surplus
행렬·투입산출은 경제수학 5장