経済数学 — 積分と余剰・総量の復元

経済数学 — 積分は限界をもう一度足し合わせる演算である

第1章が導関数で限界を読んだとすれば、この章はその限界を足し合わせて総量と余剰を取り戻す。産業間の依存関係を一度に解く行列は第5章、制約付き最適化は第3章である。

1. 定積分は面積であり、その面積が余剰である

需要が$P=100-Q$、価格が40ウォンなら、取引量は60である。消費者余剰は$\int_0^{60} (100-Q-40)\,dQ = [60Q - Q^2/2]_0^{60} = 1800$ウォンである。

供給が$P=10+Q$なら、同じ価格での生産者余剰は$\int_0^{60} (40-(10+Q))\,dQ = 900$ウォンで、総余剰は2,700ウォンである。税がかかると、この面積から死荷重が抜ける。ミクロ経済学の租税の章がその図を使う。

2. 不定積分の定数は、経済では固定費である

微積分学の基本定理は、$\frac{d}{dQ}\int_0^Q \mathrm{MC}(q)\,dq = \mathrm{MC}(Q)$であることを教えてくれる。限界から総量へ行き、また限界に戻ってくる。ただし$+C$が観測されなければ、総費用の水準は空白のままである。データに限界費用曲線しかなければ、固定費は会計や実験から別に持ってこなければならない。

対数線形化$d \ln Y = \varepsilon\, d \ln X$は、弾力性を足し算にする。成長会計の出発点である。その弾力性が制約付き最適化の乗数と出会う場所は第3章である。

確認問題

需要が$P=80-2Q$、価格が20ウォンのときの消費者余剰は? $Q=30$で、$\int_0^{30} (80-2q-20)\,dq = [60q - q^2]_0^{30} = 1800-900 = 900$ウォンである。価格を10ウォンに下げると$80-2Q=10$から$Q=35$で、$\int_0^{35} (70-2q)\,dq = 70×35 - 35^2 = 2450-1225 = 1225$ウォンである。面積は価格の下落と数量の増加を一緒に含んでいる。

参考資料

• Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 13–14
• Hal Varian, Intermediate Microeconomics, ch. 14
• Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists