经济学•章节 2•1 分钟•Updated September 24, 2026

经济数学 — 积分与剩余、总量的还原

O
Oiyo贡献者
2/5

经济数学 — 积分是把边际重新加总的运算

如果说第1章用导数读出边际，本章就是把这些边际加起来，还原总量和剩余。一次性求解产业间相互依存关系的矩阵见第5章，约束最优化见第3章。

1. 定积分是面积，而这个面积就是剩余

若需求为P=100−QP=100-Q、价格为40韩元，成交量为60。消费者剩余为∫060(100−Q−40) dQ=[60Q−Q2/2]060=1800\int_0^{60} (100-Q-40)\,dQ = [60Q - Q^2/2]_0^{60} = 1800韩元。

若供给为P=10+QP=10+Q，同一价格下的生产者剩余为∫060(40−(10+Q)) dQ=900\int_0^{60} (40-(10+Q))\,dQ = 900韩元，总剩余为2700韩元。征税时，无谓损失就从这块面积中扣除。微观经济学的税收一章用的正是这幅图。

可变成本与MC
TVC(Q)=∫0QMC(q) dqTVC(Q) = \int_0^Q MC(q)\,dq
若MC=6+2q，则TVC=6Q+Q^2。固定成本作为积分常数留下，仅靠积分无法还原固定成本。

2. 不定积分的常数在经济学中就是固定成本

微积分基本定理告诉我们ddQ∫0QMC(q) dq=MC(Q)\frac{d}{dQ}\int_0^Q \mathrm{MC}(q)\,dq = \mathrm{MC}(Q)。从边际走到总量，再回到边际。但若+C+C观测不到，总成本的水平就是空白。若数据中只有边际成本曲线，固定成本就得另从会计资料或实验中获取。

积分能还原什么、不能还原什么
被积对象得到的得不到的
需求价格消费者剩余收入效应的精确分解
MC可变成本固定成本C
边际效用效用差原点处的效用水平

对数线性化dln⁡Y=ε dln⁡Xd \ln Y = \varepsilon\, d \ln X把弹性变成加法，这是增长核算的起点。这些弹性与约束最优化中的乘数相遇之处，见第3章。

练习题

需求为P=80−2QP=80-2Q、价格为20韩元时，消费者剩余是多少?Q=30Q=30，∫030(80−2q−20) dq=[60q−q2]030=1800−900=900\int_0^{30} (80-2q-20)\,dq = [60q - q^2]_0^{30} = 1800-900 = 900韩元。若价格降到10韩元，由80−2Q=1080-2Q=10得Q=35Q=35，∫035(70−2q) dq=70×35−352=2450−1225=1225\int_0^{35} (70-2q)\,dq = 70×35 - 35^2 = 2450-1225 = 1225韩元。面积同时包含了价格下降和数量增加。

参考资料

  • Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 13–14
  • Hal Varian, Intermediate Microeconomics, ch. 14
  • Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists
O

Oiyo

Editorial Desk

The OIYO editorial desk researches money, law, lifestyle, and self-understanding topics against primary sources and public statistics. Every piece carries source notes and is reviewed on a regular cycle for accuracy and usefulness.