Matemáticas para economistas — Integración y reconstrucción de excedentes y totales

Matemáticas para economistas — la integración vuelve a sumar los márgenes

Si el capítulo 1 leyó el margen con la derivada, este capítulo suma esos márgenes para recuperar totales y excedentes. Las matrices que resuelven de una vez la interdependencia entre industrias están en el capítulo 5, y la optimización con restricciones en el capítulo 3.

1. Una integral definida es un área, y esa área es un excedente

Con una demanda $P=100-Q$ y un precio de 40 wones, la cantidad intercambiada es 60. El excedente del consumidor es $\int_0^{60} (100-Q-40)\,dQ = [60Q - Q^2/2]_0^{60} = 1800$ wones.

Si la oferta es $P=10+Q$ , el excedente del productor al mismo precio es $\int_0^{60} (40-(10+Q))\,dQ = 900$ wones, y el excedente total 2.700 wones. Cuando hay un impuesto, la pérdida irrecuperable se resta de esa área. El capítulo de microeconomía sobre impuestos usa ese gráfico.

Coste variable y coste marginal

TVC(Q) = \int_0^Q MC(q)\,dq

Si MC=6+2q, entonces TVC=6Q+Q^2. El coste fijo queda como constante de integración; la integración sola no puede recuperarlo.

2. La constante de la integral indefinida es, en economía, el coste fijo

El teorema fundamental del cálculo dice que $\frac{d}{dQ}\int_0^Q \mathrm{MC}(q)\,dq = \mathrm{MC}(Q)$ . Se va del margen al total y se vuelve al margen. Pero si no se observa $+C$ , el nivel del coste total queda vacío. Si los datos solo contienen la curva de coste marginal, el coste fijo hay que traerlo aparte de la contabilidad o de experimentos.

Lo que la integración recupera y lo que no
Función integrada	Qué se obtiene	Qué no se obtiene
Precio de demanda	Excedente del consumidor	Una descomposición exacta de los efectos renta
Coste marginal	Coste variable	El coste fijo C
Utilidad marginal	Diferencias de utilidad	El nivel de utilidad en el origen

La log-linealización $d \ln Y = \varepsilon\, d \ln X$ convierte las elasticidades en sumas. Es el punto de partida de la contabilidad del crecimiento. Donde esas elasticidades se encuentran con los multiplicadores de la optimización con restricciones es el capítulo 3.

Ejercicio

Con una demanda $P=80-2Q$ y un precio de 20 wones, ¿cuál es el excedente del consumidor? $Q=30$ , e $\int_0^{30} (80-2q-20)\,dq = [60q - q^2]_0^{30} = 1800-900 = 900$ wones. Si el precio baja a 10 wones, $80-2Q=10$ da $Q=35$ , e $\int_0^{35} (70-2q)\,dq = 70×35 - 35^2 = 2450-1225 = 1225$ wones. El área recoge a la vez la bajada del precio y el aumento de la cantidad.

Referencias

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 13–14
Hal Varian, Intermediate Microeconomics, ch. 14
Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists