Matemáticas para economistas — Funciones, derivadas y aplicaciones económicas

Matemáticas para economistas — la derivada es la gramática del margen

Este curso no es una introducción al cálculo. Es para quien ya vio derivadas en la universidad y quiere fijar de nuevo qué derivada es qué magnitud económica en las ecuaciones de demanda, coste y beneficio. La integración está en el capítulo 2, las restricciones en el capítulo 3, la dinámica en el capítulo 4 y las matrices en el capítulo 5.

1. El margen no es la media

Con una demanda $Q=100-2P$, la cantidad cae 2 unidades por cada won que sube el precio. Como la función es lineal, esa pendiente de $-2$ es la misma en todas partes, no solo en un punto. Si el coste total es $\mathrm{TC}=10+6Q+Q^2$ (en decenas de miles de wones), entonces

En $Q=4$, producir una unidad más cuesta 140.000 wones, no la media acumulada de 125.000 wones. Por eso la regla de beneficio de la sección 2 usa el margen y no la media.

La elasticidad es una derivada sin unidades.

El ingreso es $\mathrm{TR}=P\cdot Q=20×60=1200$. Con un precio de 21, $Q=58$ y $\mathrm{TR}=1218$, mayor. Coincide con el cálculo del tramo inelástico.

2. La maximización del beneficio mira a la vez el primer y el segundo orden

Con $\pi=\mathrm{TR}-\mathrm{TC}$, $\mathrm{TR}=40Q$ y $\mathrm{TC}=10+6Q+Q^2$, se obtiene $\pi=34Q-Q^2-10$. $d\pi/dQ=34-2Q=0$ da $Q=17$, y $d^2\pi/dQ^2=-2<0$, así que es un máximo. Es el mismo punto en que $\mathrm{MC}=6+2Q$ corta el precio de 40.

La regla de la cadena se aplica directamente a la producción compuesta. Si $Q=F(K(t))$, entonces $dQ/dt=F'(K)\cdot K'(t)$. Cuando el capital cambia en el tiempo, la variación de la producción es el producto del producto marginal y la inversión. Enlaza con la optimización del capítulo 3.

Ejercicio

¿Cuál es la cantidad óptima de una empresa competitiva con $\mathrm{TC}=100+20Q+Q^2$ (en decenas de miles de wones) y $P=80$? $\mathrm{MC}=20+2Q=80$ da $Q=30$. Entonces $\mathrm{ATC}=100/30+20+30≈53{,}3$, así que el beneficio por unidad es de unos 26,7 y el beneficio total de 800 (8 millones de wones). Se elige el punto donde $P=\mathrm{MC}$, no el mínimo del coste medio.

Referencias

• Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 6–9
• Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists, ch. 3–5
• MIT OpenCourseWare, 14.01 Principles of Microeconomics