経済数学 — 関数・微分と経済への応用

経済数学 — 微分は限界を書き表す文法である

この科目は微積分の入門ではない。大学で導関数を学んだ人が、需要・費用・利潤の式でどの導関数がどの経済量なのかをもう一度固定する。積分は第2章、制約は第3章、動学は第4章、行列は第5章である。

1. 限界は平均ではない

需要が$Q=100-2P$なら、価格が1ウォン上がるごとに数量は2単位減る。関数が線形なので、この傾き$-2$はある一点だけでなくどこでも同じである。総費用が$\mathrm{TC}=10+6Q+Q^2$(万ウォン)なら、

$Q=4$でもう1台作る費用は14万ウォンであって、これまでの平均12.5万ウォンではない。第2節の利潤のルールが平均ではなく限界を使う理由である。

弾力性は、単位を消した導関数である。

売上は$\mathrm{TR}=P\cdot Q=20×60=1200$である。価格が21なら$Q=58$、$\mathrm{TR}=1218$に増える。非弾力的な区間の計算と合っている。

2. 利潤最大化は1階と2階をあわせて見る

$\pi=\mathrm{TR}-\mathrm{TC}$、$\mathrm{TR}=40Q$、$\mathrm{TC}=10+6Q+Q^2$なら、$\pi=34Q-Q^2-10$である。$d\pi/dQ=34-2Q=0$から$Q=17$で、$d^2\pi/dQ^2=-2<0$なので極大である。$\mathrm{MC}=6+2Q$が価格40と交わる点と同じである。

連鎖律は合成された生産にそのまま使われる。$Q=F(K(t))$なら$dQ/dt=F'(K)\cdot K'(t)$である。資本が時間とともに変わるとき、産出の変化は限界生産と投資の積になる。第3章の最適化につながる。

確認問題

$\mathrm{TC}=100+20Q+Q^2$(万ウォン)、$P=80$万ウォンの競争企業の最適数量は? $\mathrm{MC}=20+2Q=80$から$Q=30$である。このとき$\mathrm{ATC}=100/30+20+30≈53.3$万ウォンなので、1台あたりの利潤は約26.7万ウォン、総利潤は800万ウォンである。平均費用が最小の点ではなく、$P=\mathrm{MC}$の点で選ぶ。

参考資料

• Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 6–9
• Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists, ch. 3–5
• MIT OpenCourseWare, 14.01 Principles of Microeconomics