经济数学 — 函数、导数与经济应用

经济数学 — 导数是书写边际的语法

本课程不是微积分入门。它面向在大学学过导数的人，帮助他们在需求、成本和利润方程中重新确定哪个导数对应哪个经济量。积分见第2章，约束见第3章，动态见第4章，矩阵见第5章。

1. 边际不是平均

若需求为$Q=100-2P$，价格每上涨1韩元，数量减少2单位。由于函数是线性的，这个斜率$-2$处处相同，而不只是某一点的值。若总成本为$\mathrm{TC}=10+6Q+Q^2$(万韩元)，则

在$Q=4$时多生产一台的成本是14万韩元，而不是迄今为止的平均12.5万韩元。这就是第2节的利润规则使用边际而非平均的原因。

弹性是去掉单位的导数。

收入为$\mathrm{TR}=P\cdot Q=20×60=1200$。价格为21时，$Q=58$，$\mathrm{TR}=1218$，有所增加。这与缺乏弹性区间的计算一致。

2. 利润最大化要同时看一阶和二阶条件

若$\pi=\mathrm{TR}-\mathrm{TC}$，$\mathrm{TR}=40Q$，$\mathrm{TC}=10+6Q+Q^2$，则$\pi=34Q-Q^2-10$。由$d\pi/dQ=34-2Q=0$得$Q=17$，且$d^2\pi/dQ^2=-2<0$，所以是极大值。这与$\mathrm{MC}=6+2Q$和价格40相交的点相同。

链式法则可直接用于复合生产。若$Q=F(K(t))$，则$dQ/dt=F'(K)\cdot K'(t)$。资本随时间变化时，产出的变化是边际产量与投资的乘积。这与第3章的最优化相衔接。

练习题

$\mathrm{TC}=100+20Q+Q^2$(万韩元)、$P=80$万韩元的竞争性企业，最优产量是多少?由$\mathrm{MC}=20+2Q=80$得$Q=30$。此时$\mathrm{ATC}=100/30+20+30≈53.3$万韩元，每台利润约26.7万韩元，总利润800万韩元。应在$P=\mathrm{MC}$处选择，而不是在平均成本最低处。

参考资料

• Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 6–9
• Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists, ch. 3–5
• MIT OpenCourseWare, 14.01 Principles of Microeconomics