Mathématiques pour économistes — Fonctions, dérivées et applications économiques

Mathématiques pour économistes — la dérivée est la grammaire de la marge

Ce cours n’est pas une initiation au calcul différentiel. Il s’adresse à qui a déjà vu les dérivées à l’université et veut fixer de nouveau quelle dérivée correspond à quelle grandeur économique dans les équations de demande, de coût et de profit. L’intégration est au chapitre 2, les contraintes au chapitre 3, la dynamique au chapitre 4 et les matrices au chapitre 5.

1. La marge n’est pas la moyenne

Avec une demande $Q=100-2P$, la quantité baisse de 2 unités pour chaque hausse de prix de 1 won. La fonction étant linéaire, cette pente de $-2$ est la même partout, pas seulement en un point. Si le coût total est $\mathrm{TC}=10+6Q+Q^2$ (en dizaines de milliers de wons), alors

En $Q=4$, produire une unité de plus coûte 140 000 wons, et non la moyenne atteinte jusque-là de 125 000 wons. C’est pourquoi la règle de profit de la section 2 utilise la marge et non la moyenne.

L’élasticité est une dérivée débarrassée de ses unités.

La recette vaut $\mathrm{TR}=P\cdot Q=20×60=1200$. Au prix de 21, $Q=58$ et $\mathrm{TR}=1218$, en hausse. Cela concorde avec le calcul dans la zone inélastique.

2. La maximisation du profit examine ensemble le premier et le second ordre

Avec $\pi=\mathrm{TR}-\mathrm{TC}$, $\mathrm{TR}=40Q$ et $\mathrm{TC}=10+6Q+Q^2$, on obtient $\pi=34Q-Q^2-10$. $d\pi/dQ=34-2Q=0$ donne $Q=17$, et $d^2\pi/dQ^2=-2<0$ : c’est un maximum. C’est le même point que celui où $\mathrm{MC}=6+2Q$ rencontre le prix de 40.

La règle de dérivation en chaîne s’applique directement à une production composée. Si $Q=F(K(t))$, alors $dQ/dt=F'(K)\cdot K'(t)$. Quand le capital varie dans le temps, la variation de la production est le produit de la productivité marginale et de l’investissement. Cela rejoint l’optimisation du chapitre 3.

Exercice

Quelle est la quantité optimale d’une entreprise concurrentielle avec $\mathrm{TC}=100+20Q+Q^2$ (en dizaines de milliers de wons) et $P=80$ ? $\mathrm{MC}=20+2Q=80$ donne $Q=30$. Alors $\mathrm{ATC}=100/30+20+30≈53{,}3$, soit un profit unitaire d’environ 26,7 et un profit total de 800 (8 millions de wons). On choisit le point où $P=\mathrm{MC}$, pas le minimum du coût moyen.

Références

• Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 6–9
• Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists, ch. 3–5
• MIT OpenCourseWare, 14.01 Principles of Microeconomics