Mathématiques pour économistes — Dynamique et stabilité

Mathématiques pour économistes — avec le temps, un optimum statique devient une équation différentielle

La statique comparative saute d’un point à un autre. La dynamique se demande si le chemin entre les deux est réellement parcouru et si le système revient à son état stationnaire. La théorie macroéconomique de la croissance utilise cette grammaire.

1. Solutions et stabilité des équations linéaires du premier ordre

Si $\dot x = -a(x-x^*)$ avec $a>0$, alors $x(t)=x^*+(x_0-x^*)e^{-at}$, qui tend vers $x^*$ quand $t\to\infty$. Si $a<0$, la solution diverge. Le signe décide de la stabilité.

Dans le modèle de Solow, le capital par travailleur $k$ suit $\dot k = s f(k) - (\delta+n)k$, et à l’état stationnaire $s f(k^*)=(\delta+n)k^*$. Avec $f(k)=\sqrt k$, $s=0{,}2$ et $\delta+n=0{,}1$, $0{,}2\sqrt k=0{,}1 k$ donne $\sqrt k=2$ et $k^*=4$. Si $k_0=1$, l’épargne l’emporte sur la dépréciation et la dilution démographique et $k$ augmente ; si $k_0=9$, il diminue.

La règle d’or s’écrit $f'(k_{gold})=\delta+n$. Avec les chiffres ci-dessus, $f'=1/(2\sqrt k)=0{,}1$ donne $\sqrt k=5$ et $k=25$. Comme $k^*=4$ est inférieur à la règle d’or, relever le taux d’épargne peut accroître la consommation stationnaire. À l’inverse, en cas de suraccumulation, il faut réduire l’épargne pour accroître la consommation stationnaire.

2. Un diagramme de phase, ce sont des flèches, pas des coefficients

L’état stationnaire est le point qui sépare la zone où $\dot k>0$ de celle où $\dot k<0$. Un joli dessin ne signifie pas qu’on a lu les coefficients. La stabilité locale exige que le crochet de la linéarisation $\dot{\tilde k}=[sf'(k^*)-(\delta+n)]\tilde k$ soit négatif. Avec des rendements décroissants, $f'(k^*)<f(k^*)/k^*$, donc $sf'(k^*)<\delta+n$ est automatiquement vérifié. Dans l’exemple, $sf'(4)=0{,}2×0{,}25=0{,}05<0{,}1$.

Le contrôle optimal (le hamiltonien) est le seuil suivant de ce chapitre. L’équation d’Euler de la consommation et de l’épargne, $u'(c_t)=\beta(1+r)u'(c_{t+1})$, en est la condition du premier ordre. Elle se situe à un autre niveau que le multiplicateur d’introduction.

Exercice

Si le taux d’épargne passe de 20 % à 30 %, que vaut le nouveau $k^*$ ? $0{,}3\sqrt k=0{,}1k$ donne $\sqrt k=3$ et $k^*=9$. La consommation par travailleur $c=(1-s)f(k)$ vaut $0{,}8×2=1{,}6$ en $k=4$, tombe à $0{,}7×2=1{,}4$ au moment où le taux d’épargne augmente, puis remonte à $0{,}7×3=2{,}1$ quand $k$ approche 9. N’écrivez pas « épargner plus est toujours un gain » en ne regardant que le niveau de long terme. Les générations du chemin de transition en paient le coût.

Références

• Robert Solow, « A Contribution to the Theory of Economic Growth », QJE (1956)
• Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 14–15
• MIT OpenCourseWare, 14.02 Principles of Macroeconomics