Mathématiques pour économistes — Optimisation sous contrainte et multiplicateur de Lagrange

Mathématiques pour économistes — sous contrainte, les dérivées seules ne suffisent pas

Sans contrainte, $\nabla f=0$ est la condition du premier ordre. Avec une contrainte budgétaire ou de ressources, il faut se déplacer le long de sa frontière. Le lagrangien est une technique qui traite la contrainte comme un prix. Les équilibres de Nash et les stratégies mixtes, où plusieurs personnes choisissent en même temps, relèvent de la théorie des jeux en microéconomie. Ce chapitre ne traite que des extrema d’un seul décideur.

1. Le multiplicateur est la valeur d’une unité de contrainte pour l’objectif

$\max u=xy$ s.c. $2x+y=12$ . $L=xy+\lambda(12-2x-y)$ .

Conditions du premier ordre

y=2\lambda,\quad x=\lambda,\quad 2x+y=12

λ=x et y=2x. En substituant dans le budget, 2x+2x=12, d'où x=3, y=6 et λ=3. Si le budget passe à 13 wons, l'utilité augmente d'environ 3.

En $x=3, y=6$ , $u=18$ . Avec un budget de 13 wons, $x=3{,}25, y=6{,}5$ et $u=21{,}125$ : la hausse de 3,125 concorde avec l’approximation $\lambda=3$ . C’est $\mathrm{MU}_x/P_x=\lambda$ , l’utilité marginale par won de la théorie du consommateur.

2. Avec inégalités et non-négativité, un coin peut être la solution

KKT ajoute au lagrangien d’égalité la complémentarité des contraintes non saturées. Si l’utilité marginale par won d’un bien est inférieure à celle d’un autre, la consommation de ce bien s’arrête à zéro. « Toujours une tangence intérieure » est une solution particulière qui suppose une consommation positive.

Les outils d'un décideur unique
Outil	Contrainte	Ce que dit la solution
Conditions du premier ordre	Aucune	Candidats points stationnaires
Lagrangien	Égalité	Extrema sur la frontière et λ
KKT	Inégalité, non-négativité	Quelles contraintes sont saturées

La condition du second ordre vérifie si la hessienne est définie négative (pour un maximum). Se contenter du premier ordre et lire un point selle comme un profit maximal conduit à choisir la production à l’envers. C’est la même chose que la distinction entre moyenne et marge du chapitre 1.

Quand le temps s’ajoute, les mêmes conditions du premier ordre deviennent des équations différentielles. La stabilité de leur état stationnaire est traitée au chapitre 4.

Exercice

Si le budget augmente de 50 %, de 12 à 18 wons, l’approximation linéaire suggère que l’utilité augmente de $\Delta u \approx \lambda \Delta m = 3 × 6 = 18$ . En réalité, $x=4{,}5, y=9$ et $u=40{,}5$ , soit une hausse de 22,5, et le nouveau multiplicateur vaut $\lambda=x=4{,}5$ . Avec cette fonction d’utilité, λ augmente avec le revenu : l’approximation linéaire ne vaut que pour de petites variations. 50 % n’est pas petit.

Références

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 12
Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists, ch. 18–19
Harold Kuhn and Albert Tucker, « Nonlinear Programming », Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability (1951)