经济数学 — 约束最优化与拉格朗日乘数

经济数学 — 有约束时，仅靠导数不够

没有约束时，$\nabla f=0$就是一阶条件。有预算或资源约束时，就必须沿着约束的边界移动。拉格朗日方法是把约束当作价格来处理的技巧。多人同时选择的纳什均衡和混合策略，属于微观经济学的博弈论。本章只讨论单个决策者的极值。

1. 乘数是约束每一单位对目标函数的价值

$\max u=xy$ s.t. $2x+y=12$。$L=xy+\lambda(12-2x-y)$。

在$x=3, y=6$处$u=18$。预算为13韩元时，$x=3.25, y=6.5$，$u=21.125$，增加3.125，与$\lambda=3$的近似相符。这就是$\mathrm{MU}_x/P_x=\lambda$，即消费者理论中每韩元的边际效用。

2. 有不等式和非负约束时，角点可以是解

KKT条件在等式拉格朗日方法的基础上，加入了非紧约束的互补松弛性。若某种商品每韩元的边际效用低于其他商品，这种商品的消费就停在0。“总是内点相切”只是假设消费为正时的特殊解。

二阶条件检查海塞矩阵是否负定(对应最大值)。只满足一阶条件就把鞍点当作利润最大点，会把产量选反。这与第1章中平均与边际的区分是一回事。

加入时间后，同样的一阶条件会变成微分方程。其稳态的稳定性见第4章。

练习题

预算从12韩元增加50%到18韩元时，按线性近似，效用似乎会增加$\Delta u \approx \lambda \Delta m = 3 × 6 = 18$。实际上$x=4.5, y=9$，$u=40.5$，增加了22.5，新的乘数为$\lambda=x=4.5$。在这个效用函数中λ随收入增大，所以线性近似只适用于小的变化。50%并不小。

参考资料

• Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 12
• Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists, ch. 18–19
• Harold Kuhn and Albert Tucker, “Nonlinear Programming,” Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability (1951)