计量经济学 — 简单回归与最小二乘法

计量经济学 — OLS是画一条均值线的计算，而不是原因

在简单回归 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + U$ 中，OLS选择使残差平方和最小的 $(\beta_0, \beta_1)$ 。要使它等于第1章的ATE， $X$ 与 $U$ 必须不相关。本章先把计算确定下来，这一假设的作用留到下一章。

1. 斜率来自正规方程

对 $n$ 个样本，使 $\sum \hat u_i = 0$ 、 $\sum X_i \hat u_i = 0$ 成立即可。这意味着残差均值为0，且残差与 $X$ 的样本协方差为0。

OLS斜率

\hat\beta_1 = \widehat{\mathrm{Cov}}(X,Y) / \widehat{\mathrm{Var}}(X)

X偏离均值时Y随之偏离的程度，除以X的离散程度。X没有变动就无法相除。

截距

\hat\beta_0 = \bar Y - \hat\beta_1 \bar X

回归线经过样本的均值点。

若受教育年限为12、14、16年，工资(万韩元)为280、320、390，则 $\bar X=14$ ， $\bar Y=330$ 。离差乘积之和为 $(-2)(-50)+0+(2)(60)=220$ ， $X$ 的离差平方和为8，所以样本协方差为110，样本方差为4(都除以 $n-1$ )， $\hat\beta_1=220/8=27.5$ 万韩元/年， $\hat\beta_0=330-27.5×14=-55$ 万韩元。协方差和方差必须除以相同的分母。截距为负，是因为把0年教育外推到了样本之外，最好不要解读。

2. R²是拟合的比例，而不是模型正确与否

决定系数

R^2 = 1 - SSR/SST

SSR为残差平方和，SST为Y的总平方和。增加变量不会使R²下降。

说教育解释了工资变动的40%，意思是在这个样本中，教育回归线占了总平方和的这一比例。若被遗漏的能力通过教育影响工资，R²可能升高，因果解释反而更糟。

OLS保证什么、不保证什么
保证	不保证
样本中残差⊥X	总体中U⊥X
经过均值点	截距的经济含义
线性条件均值的最佳近似(在假设下)	处理效应

3. 残差不是不可观测的误差U

残差 $\hat u$ 是估计回归后剩下的部分。 $U$ 是模型为真时的扰动项。模型设定错误时，即使 $\hat u$ 很小， $U$ 也没有意义。散点图呈曲线却画直线，残差就会偏向一侧。此时该做的不是加入更多变量，而是重新设定函数形式。

练习题

把 $X$ 标准化后， $\hat\beta_1$ 会变吗?会。把 $X$ 除以标准差 $s_X$ 后，斜率变为 $\hat\beta_1 s_X$ 。第1节的例子中 $s_X=2$ ，所以标准化斜率为55万韩元，表示”X每变动1个标准差时Y的变化”。它与原单位下的27.5数字不同，但描述的是用不同单位表示的同一关系。

参考资料

Jeffrey Wooldridge, Introductory Econometrics, ch. 2
MIT OpenCourseWare, 14.32 Econometrics
韩国统计厅，家庭金融福利调查(韩文)