经济学•章节 3•1 分钟•Updated September 24, 2026

计量经济学 — 多元回归与高斯—马尔可夫定理

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计量经济学 — 加入变量，就是在问另一个斜率

只放教育的工资回归斜率，与同时放入工作经验和性别后的斜率，不是同一个参数。后者是”其他控制变量固定时”的偏效应。控制变量要替代遗漏变量，该变量必须在处理之前就已确定。

1. 弗里希—沃定理:对其他变量的残差回归

把YY对XX和WW回归得到的XX系数，等于把YY对WW回归的残差再对XX对WW回归的残差做简单回归所得的系数。要在控制工作经验的情况下看教育效应，只能使用教育中不能被工作经验解释的那部分变动。

偏回归
β^X=Cov^(X~,Y~)/Var^(X~)\hat\beta_X = \widehat{\mathrm{Cov}}(\tilde X, \tilde Y) / \widehat{\mathrm{Var}}(\tilde X)
波浪号表示对W回归后剩下的残差。若W拿走了X的大部分变动，X的残差几乎为0，估计就不稳定。

若教育与工作经验几乎同步变动，数据就无法区分”控制工作经验后的教育效应”。这就是多重共线性的实质。方差膨胀因子过大的警告，意味着问题与数据的变动不匹配。

2. 高斯—马尔可夫定理是BLUE的收据

在线性、外生性E[U∣X,W]=0E[U|X,W]=0、同方差、无自相关的条件下，OLS在线性无偏估计量中方差最小。正态分布不在其中。正态性用于解读有限样本的t检验。

假设不成立时
假设不成立时的症状对策
外生性能力偏误、联立性改变识别策略(第4章)
同方差残差呈扇形稳健标准误、WLS
无自相关时间序列残差聚集聚类、HAC
线性忽略曲线和交互项重新设定函数形式

存在异方差时，OLS点估计仍可能是一致的，但普通标准误是错的。“显著”最先失效。在只有20个观测值的小样本中，仅仅换成稳健标准误就放心，也是危险的。

若在工资(万韩元)数据中，低学历者残差方差小、高学历者残差方差大，就会低估高学历区间斜率的不确定性。怀特标准误若从0.8万韩元增至1.4万韩元，同一个系数27.5万韩元的t值会从约34降到约20。

3. 不良控制不会减少偏误

控制职业、职级等处理之后才确定的中间结果，留下的不是总效应，而是直接效应中一个奇怪的片段，或者会产生新的选择偏误。控制职业来看教育效应，得到的是”受了教育仍留在同一职业时”的效应，抹去了教育改变职业的渠道。

练习题

工作经验与教育的样本相关系数为0.95。教育系数的标准误变大，是因为高斯—马尔可夫条件被破坏了吗?不是。线性无偏性仍可成立，方差变大是因为XX缺乏独立的变动。

参考资料

  • Jeffrey Wooldridge, Introductory Econometrics, ch. 3–8
  • Ragnar Frisch and Frederick Waugh, “Partial Time Regressions,” Econometrica (1933)
  • MIT OpenCourseWare, 14.32 Econometrics
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