計量経済学 — 重回帰とガウス=マルコフ

計量経済学 — 変数を加えることは、別の傾きを問うことである

教育だけを入れた賃金回帰の傾きと、経験年数や性別も入れた傾きは、同じパラメータではない。後者は「ほかの統制変数を固定したとき」の偏効果である。統制変数が欠落変数の代わりになるには、その変数が処置より前に決まっていなければならない。

$Y$ を $X$ と $W$ に回帰したときの $X$ の係数は、 $X$ を $W$ に回帰した残差に、 $Y$ の $W$ に対する残差を単回帰した係数と等しい。経験年数を統制して教育の効果を見るには、教育のうち経験年数で説明される部分を除いた変動だけを使う。

偏回帰

\hat\beta_X = \widehat{\mathrm{Cov}}(\tilde X, \tilde Y) / \widehat{\mathrm{Var}}(\tilde X)

波線はWに回帰した後の残差を表す。WがXの変動の大半を持っていけば、Xの残差はほぼ0になり、推定が不安定になる。

教育と経験年数がほとんど一緒に動くなら、「経験年数を統制した後の教育の効果」をデータは区別できない。これが多重共線性の実体である。分散拡大係数が大きいという警告は、問いがデータの変動と合っていないという意味である。

線形性、外生性 $E[U|X,W]=0$ 、均一分散、系列相関なしなら、OLSは線形不偏推定量のなかで分散が最も小さい。正規分布はここに入っていない。正規性は、有限標本のt検定の解釈に使われる。

不均一分散があると、OLSの点推定は一致性を保ちうるが、通常の標準誤差は誤りになる。「有意だ」が真っ先に崩れる。観測値20個の小標本で、頑健な標準誤差に替えただけで安心するのも危うい。

賃金(万ウォン)のデータで、低学歴の残差分散が小さく高学歴で大きければ、高学歴の区間の傾きの不確実性を過小評価することになる。ホワイトの標準誤差が0.8万ウォンから1.4万ウォンに大きくなれば、同じ係数27.5万ウォンのt値は約34から約20に下がる。

職業や役職のように処置の後に決まる中間的な成果を統制すると、総効果ではなく直接効果の奇妙な断片が残るか、新たな選択バイアスが生じる。職業を統制して教育の効果を見るのは、「教育を受けても同じ職業にとどまるとき」の効果である。教育が職業を変える経路を消してしまう。

経験年数と教育の標本相関が0.95である。教育の係数の標準誤差が大きくなったのは、ガウス=マルコフが崩れたからか。そうではない。線形不偏性は保たれうる。 $X$ に独自の変動が足りないため、分散が大きくなったのである。

Jeffrey Wooldridge, Introductory Econometrics, ch. 3–8
Ragnar Frisch and Frederick Waugh, “Partial Time Regressions,” Econometrica (1933)
MIT OpenCourseWare, 14.32 Econometrics