計量経済学 — 内生性と操作変数

計量経済学 — 内生性とは、誤差項がXと相関しているということである

OLSが因果の傾きを与えるには、 $\mathrm{Cov}(X,U)=0$ でなければならない。この相関が残る典型的な道は三つある。抜け落ちた変数、互いに決め合う方程式、不正確な測定である。操作変数は、その相関を断ち切る外生的な変動を借りてくる。

1. 欠落変数バイアスの符号は二つの関係の積である

真のモデルが $Y = \beta X + \gamma W + U$ なのに $W$ を抜くと、バイアスは $\gamma\delta$ に近い。 $\delta$ は $W$ を $X$ に回帰した係数である。

教育 $X$ と能力 $W$ が正の相関を持ち、能力が賃金を上げるなら、教育だけに回帰した係数は過大評価される。逆に、測定された教育年数に本当の人的資本と無関係な雑音が混ざれば、減衰バイアスによって係数は0の側に縮む。同じ「誤ったOLS」でも方向は逆である。

内生性の三つの源
源	例	OLSの方向
欠落変数	能力・意欲	たいてい教育効果を過大評価
同時性	価格と数量	需要の傾きが急にも緩やかにも歪む
測定誤差	回顧による所得、不正確な年数	古典的誤差なら0の側に減衰

2. よい操作変数は、関連性と除外を同時に満たさなければならない

操作変数 $Z$ は $X$ を動かし( $\text{関連性}$ )、 $Y$ には $X$ を通じてのみ影響しなければならない( $\text{除外制約}$ )。2段階最小二乗法は、第1段階で $X$ を $Z$ に回帰し、その予測値で第2段階の $Y$ の回帰を行う。

IVの傾き(単純)

\hat\beta_{IV} = \widehat{\mathrm{Cov}}(Z,Y) / \widehat{\mathrm{Cov}}(Z,X)

ZがXを動かさなければ分母は0に近くなり、弱い操作変数になる。

義務教育年限の変更は、典型的な操作変数の候補である。法律が教育年数を変え、賃金には教育を通じてのみ影響するという話に説得力がなければならない。法律が同時に労働市場の制度も変えたなら、除外制約は崩れる。

第1段階のFが10を超えるかを見るルールは、弱い操作変数によるバイアスの経験則である。F=4なら、第2段階の係数が真の値の何倍にも偏る標本は珍しくなく、F=10はそのバイアスを減らすためのハードルにすぎない。最近の文献は、より厳しい閾値とアンダーソン=ルービン区間を勧めている。Fが大きいからといって除外制約が証明されるわけではない。見ているのは関連性だけである。

3. 局所平均処置効果は全体のATEではない

効果が異質なとき、IVは操作変数によって行動が変わる人々の平均効果(LATE)をとらえる。義務教育に反応した人の教育の収益であって、もともと大学に行くつもりだった人の収益ではない。政策の対象がその集団と違うなら、数字をそのまま移さない。

この4章は、学部の計量経済学の入口である。パネル、時系列の単位根、選択モデルは後続の科目で扱う。この段階の修了条件は、回帰係数に因果の名前をつける前に、識別の文を書けることである。

確認問題

たばこ税が1箱あたり1,000ウォン上がったとき、価格が4,500ウォンから5,400ウォンに上がれば、税の価格転嫁率は90%である。この税の引き上げを、たばこの価格の操作変数として使うとしよう。健康意識が税の引き上げと喫煙を同時に動かすなら、どの仮定が崩れるか。

税が価格を通じてのみ喫煙に影響するという除外制約が崩れる。関連性(税→価格、転嫁率90%)は依然として強くありうるので、第1段階のFが大きいという事実でこの問題を覆い隠すことはできない。

参考資料

Joshua Angrist and Alan Krueger, “Does Compulsory School Attendance Affect Schooling and Earnings?,” Quarterly Journal of Economics (1991)
Joshua Angrist and Jörn-Steffen Pischke, Mostly Harmless Econometrics, ch. 4
Jeffrey Wooldridge, Introductory Econometrics, ch. 15