金融経済学 — 期待効用・リスク・プレミアム・確率的割引因子

金融経済学 — リスクのあるキャッシュフローは、期待値が同じでも価格が違う

第1章の状態価格 $q_s$ を確率で割ると、確率的割引因子(SDF)になる。この章では、その値がなぜ不況で大きくなるのか、そして企業財務で使うCAPMがどの仮定のもとでの特殊ケースなのかを見る。

1. 限界効用の高い状態の1ウォンのほうが高い

代表的消費者がいて、効用が時間について分離可能だとする。今日の消費を1ウォン減らして状態 $s$ で1ウォン多く得る対価は、限界効用の比率である。

確率的割引因子

m_s = \beta u'(c_s) / u'(c_0)

不況のように消費が少なく限界効用が大きい状態ではmが大きくなり、その状態のキャッシュフローはより高い現在価値を受ける。

資産価格は、キャッシュフローと $m$ の積の期待値である。

資産価格

p = E[m x]

xが不況で大きい資産(保険、国債)はE[m x]が大きくなり、価格が高く期待収益率は低い。

期待収益率で書き直すと、 $E[R] - r_f = -(1+r_f)\,\mathrm{Cov}(m, R)$ である。市場と一緒に動く資産は $m$ と負の共分散を持つので、リスク・プレミアムは正である。価格に入るリスクは「分散が大きい」ことではなく、「悪い状態で損失が出る」ことである。

2. 数字で見ると、保険は株式より高い

無リスク金利を2%、好況・不況の確率をそれぞれ50%とする。好況では $m=0.90$ 、不況では $m=1.06$ である。平均は $E[m]=0.98$ なので、 $1/E[m]≈1.0204$ で無リスク金利と合う。

株式は好況で140ウォン、不況で70ウォンを支払う。価格は $0.5×(0.90×140 + 1.06×70) = 100.1$ ウォンである。期待キャッシュフローは105ウォンだが、価格はそれより低い。保険金は好況で0ウォン、不況で100ウォンである。価格は $0.5×1.06×100 = 53$ ウォンで、期待キャッシュフロー50ウォンより高い。同じ期待値50ウォンでも、不況に集中していればプレミアムを払って買う。

リスクが価格に入る経路
測定	捉えるもの	抜け落ちるもの
分散・標準偏差	変動の大きさ	どの状態で変動するか
市場ベータ	市場と一緒に動く程度	市場の外にある所得のリスク
SDFとの共分散	限界効用の高い状態での損失	選好や完備市場の仮定が誤っているとき

3. CAPMは、SDFが市場収益率の線形であるときに出てくる

平均・分散の選好を持つか、収益率が正規分布に従うなら、選択は平均と分散だけで決まる。そのときSDFは市場ポートフォリオの収益率の線形になり、リスク・プレミアムはベータに比例する。

CAPM

E[R_i] = r_f + \beta_i (E[R_m]-r_f)

ベータは資産と市場の共分散を市場の分散で割った値である。固有リスクは分散されれば価格に残らないという主張である。

企業実務でのCAPMの使い方は企業財務第4章にある。ここで重要な限界は三つある。市場ポートフォリオは観測できない。消費のリスクと市場収益率は異なりうる。労働所得や住宅のように取引されないリスクは、ベータの外に残る。

確認問題

市場と逆に動く資産の期待収益率は、無リスク金利より高いか。高くない。消費が少ない状態で利得を生むのでSDFと正の共分散を持ち、リスク・プレミアムが負になって、期待収益率は無リスク金利より低い。第2節の保険は53ウォンで買って平均50ウォンを受け取るので、期待収益率は約−5.7%である。

参考資料

John Cochrane, Asset Pricing, ch. 1
Rajnish Mehra and Edward Prescott, “The Equity Premium: A Puzzle,” Journal of Monetary Economics (1985)
MIT OpenCourseWare, 15.401 Finance Theory