금융경제학 — 기대효용·위험프리미엄·확률할인인자

금융경제학 — 위험한 현금흐름은 기댓값이 같아도 가격이 다르다

1장의 상태가격 q_s를 확률로 나누면 확률할인인자(SDF)가 된다. 이 장에서는 그 값이 왜 불황에서 더 커지는지, 그리고 기업 재무에서 쓰는 CAPM이 어떤 가정 위의 특수한 경우인지를 본다.

1. 한계효용이 높은 상태의 1원이 더 비싸다

대표 소비자가 있고 효용이 시간에 분리된다고 하자. 오늘 소비를 1원 줄여 상태 s에서 1원을 더 얻는 대가는 내 한계효용 비율이다.

확률할인인자

m_s = \beta u'(c_s) / u'(c_0)

불황처럼 소비가 낮아 한계효용이 큰 상태에서 m이 커지고, 그 상태의 현금흐름은 더 높은 현재가치를 받는다.

자산 가격은 현금흐름과 m의 곱을 기대한 값이다.

자산가격

p = E[m x]

x가 불황에서 큰 자산(보험, 국채)은 E[m x]가 커져 가격이 높고 기대수익률은 낮다.

기대수익률로 다시 쓰면 E[R] - r_f = - r_f Cov(m, R)이다. 시장과 같이 움직이는 자산은 m과 음의 공분산을 가지므로 위험프리미엄이 양이다. “분산이 크다”가 아니라 “나쁜 상태에서 손실이 난다”가 가격에 들어가는 위험이다.

2. 숫자로 보면 보험이 주식보다 비싸다

무위험이자율 2%, 호황·불황 확률 각 50%라고 하자. 호황에서 m=0.90, 불황에서 m=1.06이다. 평균 E[m]=0.98이므로 1/E[m]≈1.0204로 무위험이자율과 맞는다.

주식은 호황 140원, 불황 70원을 준다. 가격은 0.5×(0.90×140 + 1.06×70) = 100.1원이다. 기대현금흐름은 105원인데 가격은 그보다 낮다. 보험금은 호황 0원, 불황 100원이다. 가격은 0.5×1.06×100 = 53원이다. 기대현금흐름 50원보다 비싸다. 같은 기댓값 50원이라도 불황에 집중되면 프리미엄을 주고 산다.

위험이 가격에 들어가는 경로
측정	담는 것	빠지는 것
분산·표준편차	변동의 크기	어느 상태에서 변동하는지
시장 베타	시장과 같이 움직이는 정도	시장 밖 소득 위험
SDF 공분산	한계효용이 큰 상태의 손실	선호·시장완비 가정이 틀릴 때

3. CAPM은 SDF가 시장수익률의 선형일 때 나온다

평균-분산 선호이거나 수익률이 정규분포이면 평균과 분산만으로 선택이 끝난다. 그때 SDF는 시장 포트폴리오 수익률의 선형이 되고, 위험프리미엄은 베타에 비례한다.

CAPM

E[R_i] = r_f + \beta_i (E[R_m]-r_f)

베타는 자산과 시장 공분산을 시장분산으로 나눈 값이다. 고유위험은 분산되면 가격에 남지 않는다는 주장이다.

기업 실무의 CAPM 사용법은 재무관리 4장에 있다. 여기서 중요한 한계는 세 가지다. 시장 포트폴리오를 관측할 수 없고, 소비 위험과 시장 수익률이 다를 수 있으며, 노동소득·주택처럼 거래되지 않는 위험이 베타 밖으로 남는다.

확인문제

시장과 반대로 움직이는 자산의 기대수익률은 무위험이자율보다 높은가. 소비가 낮은 상태에서 이득을 주므로 SDF와 양의 공분산을 갖고, 위험프리미엄은 음이 된다. 보험이 그런 자산이다.

참고 자료

John Cochrane, Asset Pricing, ch. 1
Rajnish Mehra and Edward Prescott, “The Equity Premium: A Puzzle,” Journal of Monetary Economics (1985)
MIT OpenCourseWare, 15.401 Finance Theory