계량경제학 — 내생성과 도구변수

계량경제학 — 내생성은 잔차가 X를 설명한다는 뜻이다

OLS가 인과 기울기를 주려면 Cov(X,U)=0이어야 한다. 이 상관이 남는 대표적인 길은 세 가지다. 빠진 변수, 서로 결정하는 방정식, 부정확한 측정이다. 도구변수는 그 상관을 끊는 외생 변동을 빌려 온다.

1. 누락변수 편의의 부호는 두 상관의 곱이다

참 모형이 Y = βX + γW + U인데 W를 빼면 편의는 γ · δ에 가깝다. δ는 X를 W에 투영한 계수다.

교육 X와 능력 W가 양의 상관이고 능력이 임금을 올리면, 교육을 단독 회귀한 계수는 과대평가된다. 반대로 측정된 교육 연수가 실제 인적자본을 과대 기록하면 감쇠 편의(attenuation)로 계수가 0 쪽으로 줄어든다. 같은 “틀린 OLS”라도 방향이 반대다.

내생성의 세 원천
원천	예	OLS 방향
누락변수	능력·동기	보통 교육 효과 과대
동시성	가격과 수량	수요 기울기가 가파르거나 평평하게 왜곡
측정오차	회고 소득, 부정확한 연수	고전적 오차면 0 쪽으로 감쇠

2. 좋은 도구는 관련성과 배제를 동시에 만족해야 한다

도구 Z는 X를 움직이고(관련성), Y에는 X를 통해서만 영향을 줘야 한다(배제제약). 2SLS는 1단계에서 X를 Z에 회귀한 예측값으로 2단계 Y 회귀를 한다.

IV 기울기 (단순)

\hat\beta_{IV} = Cov(Z,Y) / Cov(Z,X)

Z가 X를 움직이지 않으면 분모가 0에 가깝고, 약한 도구가 된다.

의무교육 연한 변화가 전형적인 후보 도구다. 법이 교육 연수를 바꾸고, 임금에는 교육을 통해서만 영향을 준다는 이야기가 설득력 있어야 한다. 법이 동시에 노동시장 제도를 바꿨다면 배제가 깨진다.

1단계 F가 10을 넘는지 보는 규칙은 약도구 편의의 경험 법칙이다. F=4이면 2단계 계수가 참값의 여러 배로 기우는 표본이 흔하고, F=10은 그 편의를 줄이려는 허들일 뿐이다. 최근 문헌은 더 엄격한 임계값과 Anderson–Rubin 구간을 권한다. F가 크다고 배제제약이 증명되는 것은 아니다. 관련성만 본 것이다.

3. 국소평균효과는 전체 ATE가 아니다

이질적 효과 하에서 IV는 도구에 의해 행동이 바뀌는 사람들의 평균 효과(LATE)를 잡는다. 의무교육에 반응한 사람의 교육 수익이지, 이미 대학을 가려던 사람의 수익이 아니다. 정책 대상이 그 집단과 다르면 숫자를 옮기지 않는다.

이 4장은 학부 계량경제학의 입구다. 패널, 시계열 단위근, 선택 모형은 후속 과정에서 다룬다. 지금 단계의 완료 조건은 회귀 계수에 인과 이름을 붙이기 전에 식별 문장을 쓸 수 있는 것이다.

확인문제

담배세 인상이 갑당 1,000원일 때 가격이 4,500원에서 5,400원으로만 오르면 전가는 90%다. 건강 인식이 세금과 흡연을 동시에 움직이면 이 90%를 수요 탄력성으로 읽어서는 안 된다.

담배세가 담배 가격 도구로 쓰인다. 건강 인식이 동시에 세금 인상과 흡연을 움직이면 어느 가정이 깨지는가. 세금이 가격을 통해 흡연에만 영향을 준다는 배제제약이다. 관련성(세금→가격)은 남아 있을 수 있다.

참고 자료

Joshua Angrist and Alan Krueger, “Does Compulsory School Attendance Affect Schooling and Earnings?,” Quarterly Journal of Economics (1991)
Joshua Angrist and Jörn-Steffen Pischke, Mostly Harmless Econometrics, ch. 4
Jeffrey Wooldridge, Introductory Econometrics, ch. 15