微观经济学 — 博弈论:混合策略、重复博弈与可信性

微观经济学 — 均衡是在对方选择给定时的相互最优反应

第8章的古诺均衡已经是纳什均衡。本章把博弈论的工具一般化:没有纯策略均衡时(混合策略)，选择有先后顺序时(逆向归纳)，同一博弈重复进行时(贴现因子)。首先要明确，一个人的最优化与多人之间的均衡是不同的概念。最优化中环境是固定的，而均衡中彼此的选择构成了彼此的环境。

1. 纳什均衡

纳什均衡是这样一组策略:在其他参与者的策略给定时，所有参与者都没有改变自己策略的激励。在囚徒困境中，(坦白，坦白)是纳什均衡，但对双方而言都比都沉默更差。纳什均衡是稳定性的概念，而不是效率的概念。

2. 混合策略:使对方无差异的概率

下面的博弈不存在纯策略均衡(格中为行参与者与列参与者的收益)。

无论从哪一格出发，总有人想偏离。在(上，左)列会改为右，在(上，右)行会改为下，在(下，右)列会改为左，在(下，左)行会改为上。

在混合策略均衡中，每个参与者选择的概率要使对方在两个纯策略之间无差异。如果对方不是无差异的，他就只会用一个纯策略，那样我的混合也就不再是最优反应。

• 若列以概率$q$选左，行选上的期望收益为$2q$，选下为$q+3(1-q)=3-2q$。两者相等时$q=3/4$。
• 若行以概率$p$选上，列选左的期望收益为$p+2(1-p)=2-p$，选右为$3p$。两者相等时$p=1/2$。

均衡为(行:上1/2，列:左3/4)，行的期望收益为$2\times 0.75=1.5$，列的期望收益为$3\times 0.5=1.5$。常见的错误是把50%当作默认值，或用自己的收益计算概率。足球点球中罚球者左右混合的比例，不是由罚球者的偏好决定，而是由守门员扑救两侧的能力决定。

3. 序贯博弈与逆向归纳

选择有先后顺序时，把博弈画成树，从最后一步往前解。潜在进入者决定是否进入由在位企业占据的市场；若进入，在位企业决定是打价格战还是共存。

在位企业威胁说:“你进来我就打价格战。“如果进入者相信，就不会进入，(不进入，价格战)是纳什均衡。但一旦进入者真的进来，在位企业共存(50)比打价格战(20)更好。这一威胁不可信。

用逆向归纳求解，最后一步在位企业选择共存，知道这一点的进入者就会进入(30 > 0)。在所有子博弈中都是最优反应的这一均衡称为子博弈完美均衡，它能剔除依赖不可信威胁的纳什均衡。

使威胁可信的方法是承诺。如果在位企业事先建设大规模产能，使得即使对手进入，大量生产、压低价格反而更有利(例如价格战60 > 共存50)，威胁就成为真正的最优反应，进入被阻止。这就是不可逆的沉没投资具有战略价值的原因，与第8章斯塔克尔伯格领导者的逻辑相同。

4. 重复博弈

一次博弈中会背叛的局面，若重复进行，合作就可能维持。设合作时每期得400韩元，背叛一次在当期得700韩元，此后对方永远惩罚，每期只得50韩元。在贴现因子$\delta$下:

$\frac{400}{1-\delta}\ \ge\ 700+\frac{50\,\delta}{1-\delta}\quad\Longleftrightarrow\quad \delta\ \ge\ \frac{700-400}{700-50}\approx 0.46$

分子是背叛一次多得的300韩元，分母是背叛收益与惩罚收益之差650韩元。只要足够重视未来，合作就是均衡。第8章的合谋条件就是这个式子的应用。

有两点需要注意。第一，在已知结束时点的有限次重复博弈中，最后一期必然背叛，于是前一期也背叛，逆向归纳使合作从第一期起就瓦解。合作要维持，结束时点必须不确定。第二，在无限次重复博弈中，不只合作，非常多的结果都可能成为均衡(无名氏定理)。重复只是使合作成为可能，并不保证合作。

练习题

在上表中，当列以3/4的概率选左时，行两个策略的期望收益是多少?上为$2\times 0.75=1.5$，下为$1\times 0.75+3\times 0.25=1.5$，两者相等。行选哪一个都无差异，因此各以1/2混合也是最优反应。若列以0.9的概率选左，上的期望收益1.8大于下的1.2，行就只选上，于是列改选右，均衡被打破。

参考资料

• Robert Gibbons, Game Theory for Applied Economists, ch. 1–2
• Avinash Dixit and Susan Skeath, Games of Strategy, ch. 6–7, 10
• Hal Varian, Intermediate Microeconomics, ch. 29–30
• MIT OpenCourseWare, 14.12 Economic Applications of Game Theory