微观经济学 — 消费者理论:效用最大化与选择

微观经济学 — 消费者使每一韩元的边际效用相等

如果说经济学导论第3章介绍了相切条件，那么本章推导这一条件，考察它不成立的情形(角点解)，并计算价格变化改变需求的两条途径(替代效应与收入效应)。第2章的需求曲线从何而来，正是本章的结论。

1. 预算约束与无差异曲线

收入为 $M$ 、面对价格 $P_x$ 和 $P_y$ 的消费者，其预算约束为 $P_x x + P_y y \le M$ 。预算线的斜率 $-P_x/P_y$ 是市场给出的交换比率。

无差异曲线连接效用相同的商品组合。若偏好是单调的(越多越好)且凸的(偏好混合而非极端)，无差异曲线向右下方倾斜、凸向原点且互不相交。其斜率的绝对值就是边际替代率(MRS)，即为多得1单位 $x$ 愿意放弃的 $y$ 的数量。

边际替代率

MRS_{xy} = -\frac{dy}{dx}\Big|_{u=\bar u} = \frac{MU_x}{MU_y}

沿无差异曲线，效用变化为MU_x dx + MU_y dy = 0，因此斜率等于边际效用之比。

2. 最优条件的推导

在预算约束下最大化效用 $u(x,y)$ 的拉格朗日函数为 $\mathcal{L}=u(x,y)+\lambda(M-P_x x-P_y y)$ 。一阶条件为:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\lambda P_x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=\lambda P_y$

两式相除即得最优条件。

内点解条件

MRS_{xy}=\frac{MU_x}{MU_y}=\frac{P_x}{P_y}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{MU_x}{P_x}=\frac{MU_y}{P_y}=\lambda

每一韩元的边际效用必须相等。若一方更大，把预算移向该商品就能提高效用。λ是多1韩元收入带来的效用(收入的边际效用)。

若 $MU_x=10$ ， $MU_y=4$ ， $P_x=2{,}000$ 韩元， $P_y=1{,}000$ 韩元，则每韩元的边际效用 $x$ 为 $1/200$ ， $y$ 为 $1/250$ 。从 $y$ 中拿出1000韩元用于 $x$ ，效用会增加。由于边际效用递减，越移动差距越小，等式得以恢复。

3. 柯布-道格拉斯需求

若 $u=x^{a}y^{1-a}$ ，由一阶条件得 $\frac{a\,y}{(1-a)\,x}=\frac{P_x}{P_y}$ ，与预算约束联立即得需求函数。

柯布-道格拉斯需求函数

x^*=\frac{aM}{P_x},\qquad y^*=\frac{(1-a)M}{P_y}

在每种商品上花费收入的固定比例(a、1−a)。自身价格弹性为−1，收入弹性为1，交叉弹性为0。

若 $u=xy$ ( $a=1/2$ )， $M=12$ 韩元， $P_x=2$ 韩元， $P_y=1$ 韩元，则 $x^*=3$ ， $y^*=6$ ，效用为18。此时 $\lambda=MU_x/P_x=y/2=3$ 。收入增至13韩元时， $x=3.25$ ， $y=6.5$ ，效用约为21.1，约增加3，与 $\lambda$ 是1韩元收入的边际效用这一解释一致。拉格朗日乘数的一般解释见经济数学第3章。

4. 角点解:等式不成立时

根据偏好不同，最优点可能落在坐标轴上。

完全替代品( $u=x+y$ ):无差异曲线是直线。若 $P_x<P_y$ ，只买 $x$ 。不存在MRS(=1)等于价格比的内部切点。
完全互补品( $u=\min(x,y)$ ):无差异曲线呈直角。总是选择 $x=y$ 的拐点，比例与价格比无关而固定。在该点MRS没有定义。

在角点解处，可能 $y=0$ 而 $MU_x/P_x > MU_y/P_y$ 。一阶条件变为不等式(库恩-塔克条件)。

5. 价格变化的两条途径:斯卢茨基分解

$x$ 的价格上涨时，两件事同时发生: $x$ 相对变贵，消费转向 $y$ 的替代效应；同样的收入能买到的东西减少的收入效应。

在上例中，若 $P_x$ 从2韩元涨到4韩元，新需求为 $x=12/(2\times 4)=1.5$ 。把总效应 $-1.5$ 拆开。为使消费者能以新价格买得起原来的组合(3, 6)，需要把收入补偿到 $M'=4\times 3+6=18$ 韩元。在这一补偿收入下，需求为 $x=18/8=2.25$ 。

替代效应:3 → 2.25，−0.75
收入效应:2.25 → 1.5，−0.75

价格上涨的替代效应与收入效应

A(3, 6)→B(2.25, 9)是替代效应，B→C(1.5, 6)是收入效应。B₁为原预算，B₂为涨价后的预算，虚线B′为补偿预算，它以新价格比经过原组合A(由于是斯卢茨基补偿，B位于比u = 18略高的无差异曲线上)。

斯卢茨基方程

\frac{\partial x}{\partial P_x} = \frac{\partial x^{s}}{\partial P_x} - x\,\frac{\partial x}{\partial M}

第一项(补偿需求的斜率)总是不大于0。第二项的符号由收入弹性决定。对正常品，两种效应方向相同。

x价格上涨的效应
商品	替代效应	收入效应	总效应
正常品	x↓	x↓	x↓
劣等品(非吉芬品)	x↓	x↑(小)	x↓
吉芬品	x↓	x↑(大)	x↑

补偿方式有两种。斯卢茨基补偿使消费者买得起原来的组合，希克斯补偿使消费者停留在原来的效用水平。价格变化很小时两者一致。解题时先确认使用的是哪种补偿。

同样的分解也用于劳动供给。工资上涨使闲暇变贵，于是多工作(替代效应)；但收入增加，又想多买闲暇(收入效应)。若高工资区间收入效应更大，劳动供给曲线就会向后弯曲。财政学第4章把这一逻辑用于所得税。

即使不知道效用函数，也可以检验选择数据的一致性。如果在买得起A时选择了B，那么在买得起B时就不应选择A(显示偏好弱公理，WARP)。违反它的数据无法还原出稳定的偏好。

练习题

$u=xy$ ， $M=24$ 韩元， $P_x=3$ 韩元， $P_y=2$ 韩元。最优组合与 $\lambda$ 是多少? $x^*=24/(2\times 3)=4$ ， $y^*=24/(2\times 2)=6$ 。 $\lambda=MU_x/P_x=y/3=2$ ，与 $MU_y/P_y=x/2=2$ 相等。两种商品每韩元的边际效用相等。

参考资料

Hal Varian, Intermediate Microeconomics, ch. 2–8
Angus Deaton and John Muellbauer, Economics and Consumer Behavior, ch. 2
MIT OpenCourseWare, 14.01 Principles of Microeconomics