Microeconomía — Teoría del consumidor: maximización de la utilidad y elección

Microeconomía — el consumidor iguala la utilidad marginal por won gastado

Si el capítulo 3 de Introducción a la economía presentó la condición de tangencia, este capítulo la deriva, examina los casos en que falla (soluciones de esquina) y calcula los dos canales por los que un cambio de precio altera la demanda (efectos sustitución y renta). De dónde sale la curva de demanda del capítulo 2 es la conclusión de este capítulo.

1. Restricción presupuestaria y curvas de indiferencia

Un consumidor con renta $M$ que se enfrenta a los precios $P_x$ y $P_y$ tiene la restricción presupuestaria $P_x x + P_y y \le M$ . La pendiente de la recta de balance, $-P_x/P_y$ , es la tasa de intercambio que fija el mercado.

Una curva de indiferencia une las cestas que proporcionan la misma utilidad. Si las preferencias son monótonas (más es mejor) y convexas (se prefieren las mezclas a los extremos), las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa, son convexas respecto al origen y no se cortan. El valor absoluto de su pendiente es la relación marginal de sustitución (RMS): cuánto $y$ está dispuesto a ceder el consumidor por una unidad más de $x$ .

Relación marginal de sustitución

MRS_{xy} = -\frac{dy}{dx}\Big|_{u=\bar u} = \frac{MU_x}{MU_y}

A lo largo de una curva de indiferencia la variación de utilidad es MU_x dx + MU_y dy = 0, así que la pendiente es el cociente de las utilidades marginales.

2. Derivación de la condición de optimalidad

El lagrangiano de la maximización de $u(x,y)$ sujeta a la restricción presupuestaria es $\mathcal{L}=u(x,y)+\lambda(M-P_x x-P_y y)$ . Las condiciones de primer orden son:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\lambda P_x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=\lambda P_y$

Dividiendo una entre otra se obtiene la condición de optimalidad.

Condición de solución interior

MRS_{xy}=\frac{MU_x}{MU_y}=\frac{P_x}{P_y}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{MU_x}{P_x}=\frac{MU_y}{P_y}=\lambda

La utilidad marginal por won debe ser igual. Si una es mayor, trasladar el gasto hacia ese bien aumenta la utilidad. λ es la utilidad adicional de un won más de renta (utilidad marginal de la renta).

Con $MU_x=10$ , $MU_y=4$ , $P_x=2.000$ wones y $P_y=1.000$ wones, la utilidad marginal por won es $1/200$ para $x$ y $1/250$ para $y$ . Quitar 1.000 wones a $y$ y gastarlos en $x$ aumenta la utilidad. Como la utilidad marginal es decreciente, la diferencia se reduce al trasladar el gasto y la igualdad se restablece.

3. Demanda Cobb-Douglas

Si $u=x^{a}y^{1-a}$ , la condición de primer orden da $\frac{a\,y}{(1-a)\,x}=\frac{P_x}{P_y}$ ; resolviéndola junto con la restricción presupuestaria se obtienen las funciones de demanda.

Funciones de demanda Cobb-Douglas

x^*=\frac{aM}{P_x},\qquad y^*=\frac{(1-a)M}{P_y}

Se gasta una proporción fija de la renta (a, 1−a) en cada bien. La elasticidad precio propia es −1, la elasticidad renta 1 y la elasticidad cruzada 0.

Con $u=xy$ ( $a=1/2$ ), $M=12$ wones, $P_x=2$ wones y $P_y=1$ won, $x^*=3$ , $y^*=6$ y la utilidad es 18. Aquí $\lambda=MU_x/P_x=y/2=3$ . Si la renta sube a 13 wones, $x=3{,}25$ e $y=6{,}5$ , de modo que la utilidad pasa a unos 21,1, un aumento de unos 3, coherente con que $\lambda$ sea la utilidad marginal de un won de renta. La interpretación general del multiplicador de Lagrange está en el capítulo 3 de Matemáticas para economistas.

4. Soluciones de esquina: cuando la igualdad no se cumple

Según las preferencias, el óptimo puede estar sobre un eje.

Sustitutivos perfectos ( $u=x+y$ ): las curvas de indiferencia son rectas. Si $P_x<P_y$ , el consumidor solo compra $x$ . No hay tangencia interior donde la RMS (= 1) iguale el cociente de precios.
Complementarios perfectos ( $u=\min(x,y)$ ): las curvas de indiferencia tienen forma de L. El consumidor siempre elige el vértice donde $x=y$ , una proporción fija con independencia de los precios. Allí la RMS no está definida.

En una solución de esquina puede ocurrir que $MU_x/P_x > MU_y/P_y$ con $y=0$ . Las condiciones de primer orden se convierten en desigualdades (condiciones de Kuhn-Tucker).

5. Dos canales de un cambio de precio: la descomposición de Slutsky

Cuando sube el precio de $x$ , ocurren dos cosas a la vez: $x$ se encarece en términos relativos y el consumidor se desplaza hacia $y$ (efecto sustitución), y la misma renta permite comprar menos (efecto renta).

En el ejemplo anterior, si $P_x$ sube de 2 a 4 wones, la nueva demanda es $x=12/(2\times 4)=1{,}5$ . Descompongamos el efecto total de $-1{,}5$ . Para que el consumidor pueda comprar la cesta inicial (3, 6) a los nuevos precios, hay que compensar su renta hasta $M'=4\times 3+6=18$ wones. Con esa renta compensada, la demanda es $x=18/8=2{,}25$ .

Efecto sustitución: 3 → 2,25, −0,75
Efecto renta: 2,25 → 1,5, −0,75

Efectos sustitución y renta de una subida de precio

A(3, 6)→B(2,25, 9) es el efecto sustitución y B→C(1,5, 6) el efecto renta. B₁ es el presupuesto inicial, B₂ el presupuesto tras la subida y B′ discontinuo el presupuesto compensado, que pasa por la cesta inicial A con el nuevo cociente de precios (con la compensación de Slutsky, B queda en una curva de indiferencia algo superior a u = 18).

Ecuación de Slutsky

\frac{\partial x}{\partial P_x} = \frac{\partial x^{s}}{\partial P_x} - x\,\frac{\partial x}{\partial M}

El primer término (pendiente de la demanda compensada) nunca es positivo. El signo del segundo depende de la elasticidad renta. Para un bien normal ambos efectos van en el mismo sentido.

Efectos de una subida del precio de x
Bien	Efecto sustitución	Efecto renta	Efecto total
Bien normal	x↓	x↓	x↓
Bien inferior (no Giffen)	x↓	x↑ (pequeño)	x↓
Bien Giffen	x↓	x↑ (grande)	x↑

Hay dos formas de compensar. La compensación de Slutsky permite comprar la cesta inicial; la compensación de Hicks mantiene al consumidor en su curva de indiferencia inicial. Para cambios de precio pequeños ambas coinciden. Al resolver un problema, compruebe primero qué compensación usa.

La misma descomposición se aplica a la oferta de trabajo. Un salario más alto encarece el ocio, lo que lleva a trabajar más (efecto sustitución), pero también eleva la renta, lo que lleva a querer más ocio (efecto renta). Si el efecto renta domina con salarios altos, la curva de oferta de trabajo se curva hacia atrás. El capítulo 4 de Hacienda pública aplica este razonamiento al impuesto sobre la renta.

Aun sin conocer la función de utilidad, se puede comprobar la coherencia de los datos de elección. Si se eligió la cesta B cuando A era asequible, no debe elegirse A cuando B es asequible (axioma débil de la preferencia revelada, WARP). Unos datos que lo violan no pueden explicarse con preferencias estables.

Ejercicio

$u=xy$ , $M=24$ wones, $P_x=3$ wones, $P_y=2$ wones. ¿Cuáles son la cesta óptima y $\lambda$ ? $x^*=24/(2\times 3)=4$ e $y^*=24/(2\times 2)=6$ . $\lambda=MU_x/P_x=y/3=2$ , igual a $MU_y/P_y=x/2=2$ : la utilidad marginal por won es la misma en ambos bienes.

Referencias

Hal Varian, Intermediate Microeconomics, ch. 2–8
Angus Deaton and John Muellbauer, Economics and Consumer Behavior, ch. 2
MIT OpenCourseWare, 14.01 Principles of Microeconomics