Microeconomía — Teoría del productor: minimización de costes y beneficio

Microeconomía — el beneficio se decide en el margen, no en la media

Si el capítulo 4 de Introducción a la economía planteó IMg = CMg, este capítulo resuelve los dos pasos que hay detrás. Primero, encontrar la combinación de factores más barata para una producción dada (minimización de costes); después, elegir la producción a partir de ese coste (maximización del beneficio). Aquí se ve también por qué una empresa cierra a corto plazo cuando $P<CVMe$ y no cuando $P<CTMe$ .

1. Función de producción e isocuantas

La función de producción $Q=F(K,L)$ da la producción máxima que se obtiene con capital $K$ y trabajo $L$ . El producto marginal $MP_L=\partial Q/\partial L$ es la producción adicional de una unidad más de trabajo, manteniendo fijos los demás factores; suele ser decreciente.

Una isocuanta une las combinaciones de factores que dan la misma producción. El valor absoluto de su pendiente es la relación marginal de sustitución técnica (RMST) —cuánto capital puede sustituir una unidad de trabajo— y es igual a $MP_L/MP_K$ . Es el equivalente, para el productor, de la curva de indiferencia y la RMS del capítulo 4.

2. Minimización de costes

La condición para producir $Q$ al menor coste posible, con un salario $w$ y un coste de uso del capital $r$ , tiene la misma estructura que el óptimo del consumidor.

Condición de minimización de costes

MRTS=\frac{MP_L}{MP_K}=\frac{w}{r}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{MP_L}{w}=\frac{MP_K}{r}

El producto marginal por won debe ser igual. Si el del trabajo es mayor, reducir capital y aumentar trabajo permite obtener la misma producción más barata.

Con $Q=K^{0{,}5}L^{0{,}5}$ , $w=10.000$ wones y $r=40.000$ wones, $MP_L/MP_K=K/L=w/r=1/4$ , así que $L=4K$ . Para producir 100 unidades hace falta $KL=10.000$ , y $4K^2=10.000$ da $K=50$ y $L=200$ . El coste es $1\times 200+4\times 50=400$ (en decenas de miles de wones), es decir, 4 millones de wones.

Cuando sube el salario, la empresa sustituye trabajo por capital para una misma producción (efecto sustitución). Si los mayores costes reducen además la producción, la demanda de trabajo cae aún más (efecto producción). Por eso ambos efectos importan al discutir el impacto de un salario mínimo sobre el empleo.

3. Curvas de coste a corto plazo

A corto plazo el capital es fijo, lo que genera costes fijos. Tomemos el coste total $CT=200+40Q+Q^2$ (en decenas de miles de wones).

Conceptos de coste
Concepto	Fórmula	Con Q = 10
Coste fijo CF	200	2 millones de wones
Coste variable CV	40Q + Q²	5 millones de wones
Coste marginal CMg	dCT/dQ = 40 + 2Q	600.000 wones
Coste variable medio CVMe	CV/Q = 40 + Q	500.000 wones
Coste total medio CTMe	CT/Q = 200/Q + 40 + Q	700.000 wones

Curvas de coste a corto plazo (CT = 200 + 40Q + Q²)

El CMg pasa por el mínimo del CTMe. Cuando está por debajo de la media la hace bajar, y cuando está por encima la hace subir.

Marginal y medio. Si tu nota media es 70 y la siguiente nota es 60, la media baja; si es 80, sube. Con los costes ocurre lo mismo. Donde CMg < CTMe, el CTMe baja; donde CMg > CTMe, sube. Por eso el CMg corta al CTMe en su mínimo. En el ejemplo, $40+2Q=200/Q+40+Q$ da $Q=\sqrt{200}\approx 14{,}1$ , donde el CTMe es de unos 683.000 wones.

4. La decisión a corto plazo de la empresa competitiva

Para un precio-aceptante, $IMg=P$ , así que produce donde $P=CMg$ . Después decide si producir o no. Los 2 millones de wones de costes fijos se pagan aunque cierre, de modo que la pregunta es: «¿cubro los costes variables?».

$P=800.000$ wones: $80=40+2Q$ da $Q=20$ . El CVMe es 600.000 wones y el CTMe 700.000 wones. Beneficio de 100.000 wones por unidad, 2 millones en total.
$P=450.000$ wones: $Q=2{,}5$ . El CVMe es 425.000 wones < 450.000 wones, así que produce. Como el precio es inferior al CTMe tiene pérdidas, pero produciendo gana 62.500 wones por encima de los costes variables, con lo que cubre parte de los fijos.
$P=300.000$ wones: $P<CVMe$ para cualquier $Q$ (mínimo 400.000 wones), así que cierra. Su pérdida se limita a los costes fijos de 2 millones de wones.

Decisión a corto plazo
Precio	Producción	Beneficio
P > mínimo del CTMe	P = CMg	Beneficio económico positivo
Mínimo del CVMe < P < mínimo del CTMe	P = CMg	Pérdida, pero se cubre parte de los costes fijos
P < mínimo del CVMe	Q = 0	Pérdida igual a los costes fijos

Por tanto, la curva de oferta a corto plazo de la empresa competitiva es la curva de CMg por encima del mínimo del CVMe. El capítulo 6 las suma para obtener la oferta de la industria.

5. El largo plazo y los rendimientos a escala

A largo plazo todos los factores son variables, así que no hay costes fijos. Si multiplicar todos los factores por $t$ multiplica la producción por más de $t$ , hay rendimientos crecientes a escala; exactamente por $t$ , constantes; por menos, decrecientes. Para $Q=K^aL^b$ esto corresponde a $a+b>1$ , $=1$ y $<1$ .

Con rendimientos crecientes, el coste medio a largo plazo desciende (economías de escala). Si sigue bajando en todo el rango de la demanda del mercado, lo más barato es que produzca una sola empresa. Es el monopolio natural del capítulo 7.

Ejercicio

Una empresa competitiva tiene $CT=100+20Q+Q^2$ (en decenas de miles de wones) y se enfrenta a $P=800.000$ wones. ¿Cuáles son su producción óptima y su beneficio? $CMg=20+2Q=80$ da $Q=30$ . El CTMe es $100/30+20+30\approx 53{,}3$ , unos 533.000 wones, de modo que el beneficio es de unos 267.000 wones por unidad y $80\times 30-(100+600+900)=800$ , es decir, 8 millones de wones en total. La regla es $P=CMg$ , no $P=CTMe$ .

Referencias

Hal Varian, Intermediate Microeconomics, ch. 19–23
N. Gregory Mankiw, Principles of Economics, ch. 13
MIT OpenCourseWare, 14.01 Principles of Microeconomics