微观经济学 — 生产者理论:成本最小化与利润

微观经济学 — 利润由边际而不是平均决定

如果说经济学导论第4章写出了MR = MC，那么本章求解这一等式背后的两个步骤。先找到以最低成本生产给定产量的要素组合(成本最小化)，再用这一成本决定产量(利润最大化)。短期停产为何发生在$P<AVC$而不是$P<ATC$，也由此而来。

1. 生产函数与等产量线

生产函数$Q=F(K,L)$表示用资本$K$和劳动$L$能生产的最大产量。边际产量$MP_L=\partial Q/\partial L$是在其他要素不变时多投入1单位劳动所增加的产量，通常递减。

连接产量相同的要素组合的曲线称为等产量线。其斜率的绝对值是边际技术替代率(MRTS)，即1单位劳动能替代的资本数量，等于$MP_L/MP_K$。它对应第4章的无差异曲线和MRS。

2. 成本最小化

在工资$w$、资本租金$r$下以最低成本生产产量$Q$的条件，与消费者最优条件结构相同。

若$Q=K^{0.5}L^{0.5}$，$w=1$万韩元，$r=4$万韩元，则$MP_L/MP_K=K/L=w/r=1/4$，所以$L=4K$。要生产100单位，需要$KL=10{,}000$，由$4K^2=10{,}000$得$K=50$，$L=200$。成本为$1\times 200+4\times 50=400$万韩元。

工资上涨时，企业为生产同样产量而用资本替代劳动(替代效应)。若成本上升使产量本身减少，劳动需求会进一步下降(产出效应)。讨论最低工资对就业的影响时必须同时考虑两种效应，原因就在于此。

3. 短期成本曲线

短期内资本固定，因而产生固定成本。以总成本$TC=200+40Q+Q^2$(万韩元)为例。

边际与平均的关系:考试平均分为70分时，下一次考60分平均分就下降，考80分平均分就上升。成本也一样。在MC < ATC的区间ATC下降，在MC > ATC的区间ATC上升，所以MC穿过ATC的最低点。上例中解$40+2Q=200/Q+40+Q$得$Q=\sqrt{200}\approx 14.1$，此时ATC约为68.3万韩元。

4. 竞争企业的短期决策

对价格接受者而言$MR=P$，因此在$P=MC$处生产。接着判断是生产还是停产。即使停产，200万韩元的固定成本也照样支出，所以要比较的是”能否收回可变成本”。

• $P=80$万韩元:由$80=40+2Q$得$Q=20$。AVC为60万韩元，ATC为70万韩元。每单位利润10万韩元，总利润200万韩元。
• $P=45$万韩元:$Q=2.5$。AVC为42.5万韩元 < 45万韩元，因此生产。价格低于ATC，所以亏损，但生产能获得超过可变成本的6.25万韩元，收回部分固定成本。
• $P=30$万韩元:在所有$Q$上都有$P<AVC$(最低40万韩元)，因此停产。损失以固定成本200万韩元为限。

因此，竞争企业的短期供给曲线是AVC最低点以上的MC曲线。第6章把它们加总成行业供给。

5. 长期与规模报酬

长期内所有要素都可变，因此没有固定成本。所有要素增加到$t$倍时，若产量增加超过$t$倍，为规模报酬递增；恰好$t$倍，为不变；少于$t$倍，为递减。对$Q=K^aL^b$，分别对应$a+b>1$、$=1$、$<1$。

在规模报酬递增的区间，长期平均成本下降(规模经济)。如果长期平均成本在整个市场需求范围内持续下降，由一家企业供给最便宜。这就是第7章的自然垄断。

练习题

$TC=100+20Q+Q^2$(万韩元)、$P=80$万韩元的竞争企业，最优产量和利润是多少?由$MC=20+2Q=80$得$Q=30$。ATC为$100/30+20+30\approx 53.3$万韩元，所以每单位利润约26.7万韩元，总利润为$80\times 30-(100+600+900)=800$万韩元。判断标准是$P=MC$，而不是$P=ATC$。

参考资料

• Hal Varian, Intermediate Microeconomics, ch. 19–23
• N. Gregory Mankiw, Principles of Economics, ch. 13
• MIT OpenCourseWare, 14.01 Principles of Microeconomics