Microéconomie — Théorie du consommateur : maximisation de l'utilité et choix

Microéconomie — le consommateur égalise l’utilité marginale par won dépensé

Si le chapitre 3 d’Introduction à l’économie a présenté la condition de tangence, ce chapitre la dérive, examine les cas où elle ne tient pas (solutions en coin) et calcule les deux canaux par lesquels une variation de prix modifie la demande (effets de substitution et de revenu). D’où vient la courbe de demande du chapitre 2 : telle est la conclusion de ce chapitre.

1. Contrainte budgétaire et courbes d’indifférence

Un consommateur disposant d’un revenu $M$ et confronté aux prix $P_x$ et $P_y$ a pour contrainte budgétaire $P_x x + P_y y \le M$ . La pente de la droite de budget, $-P_x/P_y$ , est le taux d’échange fixé par le marché.

Une courbe d’indifférence relie les paniers procurant la même utilité. Si les préférences sont monotones (plus vaut mieux) et convexes (les mélanges sont préférés aux extrêmes), les courbes d’indifférence sont décroissantes, convexes par rapport à l’origine et ne se croisent pas. La valeur absolue de leur pente est le taux marginal de substitution (TMS) : la quantité de $y$ que le consommateur est prêt à céder pour une unité supplémentaire de $x$ .

Taux marginal de substitution

MRS_{xy} = -\frac{dy}{dx}\Big|_{u=\bar u} = \frac{MU_x}{MU_y}

Le long d'une courbe d'indifférence, la variation d'utilité est MU_x dx + MU_y dy = 0, donc la pente est le rapport des utilités marginales.

2. Dériver la condition d’optimalité

Le lagrangien du problème de maximisation de $u(x,y)$ sous la contrainte budgétaire est $\mathcal{L}=u(x,y)+\lambda(M-P_x x-P_y y)$ . Les conditions du premier ordre sont :

$\frac{\partial u}{\partial x}=\lambda P_x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=\lambda P_y$

En les divisant l’une par l’autre, on obtient la condition d’optimalité.

Condition de solution intérieure

MRS_{xy}=\frac{MU_x}{MU_y}=\frac{P_x}{P_y}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{MU_x}{P_x}=\frac{MU_y}{P_y}=\lambda

L'utilité marginale par won doit être égale. Si l'une est plus grande, déplacer la dépense vers ce bien augmente l'utilité. λ est l'utilité supplémentaire d'un won de revenu en plus (utilité marginale du revenu).

Avec $MU_x=10$ , $MU_y=4$ , $P_x=2\,000$ wons et $P_y=1\,000$ wons, l’utilité marginale par won vaut $1/200$ pour $x$ et $1/250$ pour $y$ . Retirer 1 000 wons de $y$ pour les dépenser en $x$ augmente l’utilité. Comme l’utilité marginale est décroissante, l’écart se réduit à mesure que la dépense se déplace et l’égalité se rétablit.

3. La demande de Cobb-Douglas

Si $u=x^{a}y^{1-a}$ , la condition du premier ordre donne $\frac{a\,y}{(1-a)\,x}=\frac{P_x}{P_y}$ ; en la résolvant avec la contrainte budgétaire, on obtient les fonctions de demande.

Fonctions de demande de Cobb-Douglas

x^*=\frac{aM}{P_x},\qquad y^*=\frac{(1-a)M}{P_y}

Une part fixe du revenu (a, 1−a) est dépensée pour chaque bien. L'élasticité-prix propre vaut −1, l'élasticité-revenu 1 et l'élasticité croisée 0.

Avec $u=xy$ ( $a=1/2$ ), $M=12$ wons, $P_x=2$ wons et $P_y=1$ won, on a $x^*=3$ , $y^*=6$ et une utilité de 18. Ici $\lambda=MU_x/P_x=y/2=3$ . Si le revenu passe à 13 wons, $x=3{,}25$ et $y=6{,}5$ : l’utilité atteint environ 21,1, soit une hausse d’environ 3, ce qui confirme que $\lambda$ est l’utilité marginale d’un won de revenu. L’interprétation générale du multiplicateur de Lagrange figure au chapitre 3 de Mathématiques pour économistes.

4. Solutions en coin : quand l’égalité ne tient pas

Selon les préférences, l’optimum peut se trouver sur un axe.

Substituts parfaits ( $u=x+y$ ) : les courbes d’indifférence sont des droites. Si $P_x<P_y$ , le consommateur n’achète que $x$ . Il n’existe pas de tangence intérieure où le TMS (= 1) égale le rapport des prix.
Compléments parfaits ( $u=\min(x,y)$ ) : les courbes d’indifférence sont en L. Le consommateur choisit toujours le coin où $x=y$ , proportion fixe quels que soient les prix. Le TMS n’y est pas défini.

En solution en coin, on peut avoir $MU_x/P_x > MU_y/P_y$ avec $y=0$ . Les conditions du premier ordre deviennent des inégalités (conditions de Kuhn-Tucker).

5. Deux canaux d’une variation de prix : la décomposition de Slutsky

Quand le prix de $x$ augmente, deux choses se produisent à la fois : $x$ devient relativement plus cher et le consommateur se reporte sur $y$ (effet de substitution), et le même revenu permet d’acheter moins (effet de revenu).

Dans l’exemple ci-dessus, si $P_x$ passe de 2 à 4 wons, la nouvelle demande est $x=12/(2\times 4)=1{,}5$ . Décomposons l’effet total de $-1{,}5$ . Pour que le consommateur puisse acheter le panier initial (3, 6) aux nouveaux prix, il faut compenser son revenu à $M'=4\times 3+6=18$ wons. Avec ce revenu compensé, la demande est $x=18/8=2{,}25$ .

Effet de substitution : 3 → 2,25, −0,75
Effet de revenu : 2,25 → 1,5, −0,75

Effets de substitution et de revenu d'une hausse de prix

A(3, 6)→B(2,25, 9) est l'effet de substitution et B→C(1,5, 6) l'effet de revenu. B₁ est le budget initial, B₂ le budget après la hausse de prix et B′ en pointillé le budget compensé, qui passe par le panier initial A au nouveau rapport de prix (avec la compensation de Slutsky, B se trouve sur une courbe d'indifférence légèrement supérieure à u = 18).

Équation de Slutsky

\frac{\partial x}{\partial P_x} = \frac{\partial x^{s}}{\partial P_x} - x\,\frac{\partial x}{\partial M}

Le premier terme (pente de la demande compensée) n'est jamais positif. Le signe du second dépend de l'élasticité-revenu. Pour un bien normal, les deux effets vont dans le même sens.

Effets d'une hausse du prix de x
Bien	Effet de substitution	Effet de revenu	Effet total
Bien normal	x↓	x↓	x↓
Bien inférieur (non Giffen)	x↓	x↑ (faible)	x↓
Bien de Giffen	x↓	x↑ (fort)	x↑

Il existe deux manières de compenser. La compensation de Slutsky permet d’acheter le panier initial ; la compensation de Hicks maintient le consommateur sur sa courbe d’indifférence initiale. Pour de petites variations de prix, les deux coïncident. Avant de résoudre un exercice, vérifiez quelle compensation il utilise.

La même décomposition s’applique à l’offre de travail. Une hausse du salaire renchérit le loisir, ce qui pousse à travailler davantage (effet de substitution), mais elle augmente aussi le revenu, ce qui pousse à consommer plus de loisir (effet de revenu). Si l’effet de revenu domine aux salaires élevés, la courbe d’offre de travail se recourbe vers l’arrière. Le chapitre 4 de Finances publiques applique ce raisonnement à l’impôt sur le revenu.

Même sans connaître la fonction d’utilité, on peut tester la cohérence de données de choix. Si le panier B a été choisi alors que A était abordable, A ne doit pas être choisi lorsque B est abordable (axiome faible des préférences révélées, WARP). Des données qui le violent ne peuvent pas être rationalisées par des préférences stables.

Exercice

$u=xy$ , $M=24$ wons, $P_x=3$ wons, $P_y=2$ wons. Quels sont le panier optimal et $\lambda$ ? $x^*=24/(2\times 3)=4$ et $y^*=24/(2\times 2)=6$ . $\lambda=MU_x/P_x=y/3=2$ , égal à $MU_y/P_y=x/2=2$ : l’utilité marginale par won est la même pour les deux biens.

Références

Hal Varian, Intermediate Microeconomics, ch. 2–8
Angus Deaton and John Muellbauer, Economics and Consumer Behavior, ch. 2
MIT OpenCourseWare, 14.01 Principles of Microeconomics