経済数学 — 制約付き最適化とラグランジュ乗数

経済数学 — 制約があるとき、導関数だけでは足りない

制約がなければ $\nabla f=0$ が1階条件である。予算や資源の制約があれば、その境界に沿って動かなければならない。ラグランジュ法は制約を価格のように扱う技法である。複数の人が同時に選ぶナッシュ均衡や混合戦略は、ミクロ経済学のゲーム理論で扱う。この章は一人の意思決定者の極値だけを扱う。

1. 乗数は、制約1単位あたりの目的関数の価値である

$\max u=xy$ s.t. $2x+y=12$ 。 $L=xy+\lambda(12-2x-y)$ 。

1階条件

y=2\lambda,\quad x=\lambda,\quad 2x+y=12

λ=x、y=2x。予算に代入すると2x+2x=12で、x=3、y=6、λ=3。予算が13ウォンになれば、効用は約3増える。

$x=3, y=6$ で $u=18$ である。予算が13ウォンなら $x=3.25, y=6.5$ 、 $u=21.125$ で、増分3.125は $\lambda=3$ の近似と合う。これが $\mathrm{MU}_x/P_x=\lambda$ 、つまり消費者理論の1ウォンあたりの限界効用である。

2. 不等式と非負制約があれば、端点が解になる

KKTは、等式のラグランジュ法に、余裕のある制約の相補性を加える。ある財の1ウォンあたりの限界効用がほかの財より低ければ、その財の消費は0で止まる。「いつも内点で接する」は、正の消費を仮定した特殊な解である。

一人が選ぶときに使う道具
道具	制約	解が教えること
1階条件	なし	停留点の候補
ラグランジュ法	等式	境界上の極値とλ
KKT	不等式・非負	どの制約が効いているか

2階条件は、ヘッセ行列が負定値(最大)かどうかを見る。1階条件だけを満たして鞍点を利潤最大と読めば、生産量を逆に選んでしまう。第1章の平均と限界の区別と同じである。

時間が加わると、同じ1階条件が微分方程式になる。その定常状態の安定性は第4章で扱う。

確認問題

予算が12ウォンから18ウォンへ50%増えると、線形近似では効用が $\Delta u \approx \lambda \Delta m = 3 × 6 = 18$ だけ増えるように見える。実際には $x=4.5, y=9$ 、 $u=40.5$ で22.5増え、新しい乗数は $\lambda=x=4.5$ である。この効用関数ではλが所得とともに大きくなるので、線形近似は小さな変化にしか使えない。50%は小さくない。

参考資料

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 12
Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists, ch. 18–19
Harold Kuhn and Albert Tucker, “Nonlinear Programming,” Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability (1951)