経済数学 — 動学と安定性

経済数学 — 静学的な最適は、時間が加わると微分方程式になる

比較静学は、ある点から別の点へ跳ぶ。動学は、その間の経路を実際にたどるのか、定常状態に戻ってくるのかを問う。マクロの成長理論がこの文法を使う。

1. 1階線形方程式の解と安定性

$\dot x = -a(x-x^*)$で$a>0$なら、$x(t)=x^*+(x_0-x^*)e^{-at}$であり、$t\to\infty$で$x^*$に向かう。$a<0$なら発散する。符号が安定性を分ける。

ソロー・モデルで1人あたり資本$k$は$\dot k = s f(k) - (\delta+n)k$に従い、定常状態では$s f(k^*)=(\delta+n)k^*$である。$f(k)=\sqrt k$、$s=0.2$、$\delta+n=0.1$なら、$0.2\sqrt k=0.1 k$から$\sqrt k=2$、$k^*=4$である。$k_0=1$なら貯蓄が減耗と人口による希釈を上回って$k$は上がり、$k_0=9$なら下がる。

黄金律は$f'(k_{gold})=\delta+n$である。上の数字で$f'=1/(2\sqrt k)=0.1$なら$\sqrt k=5$、$k=25$である。$k^*=4$は黄金律より小さいので、貯蓄率を上げれば定常状態の消費は増えうる。逆に過剰貯蓄なら、貯蓄を減らしてはじめて定常状態の消費が増える。

2. 位相図は矢印であって、係数ではない

$\dot k>0$の区間と$\dot k<0$の区間を分ける点が定常状態である。図がきれいだからといって係数を読んだことにはならない。線形化$\dot{\tilde k}=[sf'(k^*)-(\delta+n)]\tilde k$の括弧が負であることが局所安定の条件である。収穫逓減なら$f'(k^*)<f(k^*)/k^*$なので、$sf'(k^*)<\delta+n$は自動的に成り立つ。上の例では$sf'(4)=0.2×0.25=0.05<0.1$である。

最適制御(ハミルトニアン)は、この章の次の敷居である。消費と貯蓄のオイラー方程式$u'(c_t)=\beta(1+r)u'(c_{t+1})$がその1階条件である。入門の乗数とは別の層にある。

確認問題

貯蓄率が20%から30%に上がると、新しい$k^*$は? $0.3\sqrt k=0.1k$から$\sqrt k=3$、$k^*=9$である。1人あたり消費$c=(1-s)f(k)$は、$k=4$で$0.8×2=1.6$だったのが、貯蓄率が上がった瞬間に$0.7×2=1.4$に下がり、$k$が9に近づくと$0.7×3=2.1$まで上がる。長期の水準だけを見て「貯蓄の増加は常に得だ」とは書かない。移行経路の世代が費用を払う。

参考資料

• Robert Solow, “A Contribution to the Theory of Economic Growth,” QJE (1956)
• Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 14–15
• MIT OpenCourseWare, 14.02 Principles of Macroeconomics