经济数学 — 动态与稳定性

经济数学 — 加入时间后，静态最优就变成微分方程

比较静态从一个点跳到另一个点。动态分析则问:两点之间的路径是否真的会走过去，系统能否回到稳态。宏观增长理论使用的正是这套语法。

1. 一阶线性方程的解与稳定性

若$\dot x = -a(x-x^*)$且$a>0$，则$x(t)=x^*+(x_0-x^*)e^{-at}$，当$t\to\infty$时趋于$x^*$。若$a<0$则发散。符号决定稳定性。

在索洛模型中，人均资本$k$满足$\dot k = s f(k) - (\delta+n)k$，稳态时$s f(k^*)=(\delta+n)k^*$。若$f(k)=\sqrt k$，$s=0.2$，$\delta+n=0.1$，由$0.2\sqrt k=0.1 k$得$\sqrt k=2$，$k^*=4$。若$k_0=1$，储蓄超过折旧和人口稀释，$k$上升;若$k_0=9$，$k$下降。

黄金律为$f'(k_{gold})=\delta+n$。按上面的数字，$f'=1/(2\sqrt k)=0.1$，得$\sqrt k=5$，$k=25$。$k^*=4$低于黄金律水平，所以提高储蓄率可以增加稳态消费。反之，若储蓄过度，就要降低储蓄才能增加稳态消费。

2. 相图是箭头，不是系数

把$\dot k>0$的区间和$\dot k<0$的区间分开的点就是稳态。图画得好看，不等于读出了系数。局部稳定要求线性化$\dot{\tilde k}=[sf'(k^*)-(\delta+n)]\tilde k$中括号内为负。在边际报酬递减下，$f'(k^*)<f(k^*)/k^*$，所以$sf'(k^*)<\delta+n$自动成立。上例中$sf'(4)=0.2×0.25=0.05<0.1$。

最优控制(哈密顿函数)是本章之后的下一道门槛。消费—储蓄的欧拉方程$u'(c_t)=\beta(1+r)u'(c_{t+1})$就是它的一阶条件，与入门课中的乘数处在不同层次。

练习题

储蓄率从20%升到30%时，新的$k^*$是多少?由$0.3\sqrt k=0.1k$得$\sqrt k=3$，$k^*=9$。人均消费$c=(1-s)f(k)$在$k=4$时为$0.8×2=1.6$，储蓄率上升的瞬间降到$0.7×2=1.4$，随着$k$接近9又升到$0.7×3=2.1$。不要只看长期水平就写”增加储蓄总是有利的”。过渡路径上的几代人承担了成本。

参考资料

• Robert Solow, “A Contribution to the Theory of Economic Growth,” QJE (1956)
• Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 14–15
• MIT OpenCourseWare, 14.02 Principles of Macroeconomics