Matemáticas para economistas — Dinámica y estabilidad

Matemáticas para economistas — al añadir el tiempo, un óptimo estático se convierte en una ecuación diferencial

La estática comparativa salta de un punto a otro. La dinámica pregunta si el camino entre ambos se recorre de verdad y si el sistema vuelve a su estado estacionario. La teoría macroeconómica del crecimiento usa esta gramática.

1. Soluciones y estabilidad de ecuaciones lineales de primer orden

Si $\dot x = -a(x-x^*)$ con $a>0$, entonces $x(t)=x^*+(x_0-x^*)e^{-at}$, que tiende a $x^*$ cuando $t\to\infty$. Si $a<0$, diverge. El signo decide la estabilidad.

En el modelo de Solow, el capital por trabajador $k$ sigue $\dot k = s f(k) - (\delta+n)k$, y en el estado estacionario $s f(k^*)=(\delta+n)k^*$. Con $f(k)=\sqrt k$, $s=0{,}2$ y $\delta+n=0{,}1$, $0{,}2\sqrt k=0{,}1 k$ da $\sqrt k=2$ y $k^*=4$. Si $k_0=1$, el ahorro supera a la depreciación y la dilución demográfica y $k$ sube; si $k_0=9$, baja.

La regla de oro es $f'(k_{gold})=\delta+n$. Con los números anteriores, $f'=1/(2\sqrt k)=0{,}1$ da $\sqrt k=5$ y $k=25$. Como $k^*=4$ está por debajo de la regla de oro, subir la tasa de ahorro puede aumentar el consumo estacionario. A la inversa, con exceso de ahorro hay que reducir el ahorro para que aumente el consumo estacionario.

2. Un diagrama de fase son flechas, no coeficientes

El estado estacionario es el punto que separa el tramo con $\dot k>0$ del tramo con $\dot k<0$. Que el dibujo sea bonito no significa haber leído los coeficientes. La estabilidad local exige que el corchete de la linealización $\dot{\tilde k}=[sf'(k^*)-(\delta+n)]\tilde k$ sea negativo. Con rendimientos decrecientes, $f'(k^*)<f(k^*)/k^*$, así que $sf'(k^*)<\delta+n$ se cumple automáticamente. En el ejemplo, $sf'(4)=0{,}2×0{,}25=0{,}05<0{,}1$.

El control óptimo (el hamiltoniano) es el siguiente umbral de este capítulo. La ecuación de Euler del consumo y el ahorro, $u'(c_t)=\beta(1+r)u'(c_{t+1})$, es su condición de primer orden. Está en otro nivel que el multiplicador de introducción.

Ejercicio

Si la tasa de ahorro sube del 20 % al 30 %, ¿cuál es el nuevo $k^*$? $0{,}3\sqrt k=0{,}1k$ da $\sqrt k=3$ y $k^*=9$. El consumo por trabajador $c=(1-s)f(k)$ es $0{,}8×2=1{,}6$ en $k=4$, cae a $0{,}7×2=1{,}4$ en cuanto sube la tasa de ahorro y sube a $0{,}7×3=2{,}1$ cuando $k$ se acerca a 9. No escriba «ahorrar más siempre es una ganancia» mirando solo el nivel a largo plazo. Las generaciones de la transición pagan el coste.

Referencias

• Robert Solow, «A Contribution to the Theory of Economic Growth», QJE (1956)
• Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 14–15
• MIT OpenCourseWare, 14.02 Principles of Macroeconomics