经济数学 — 矩阵与投入产出

经济数学 — 矩阵一次性求解的不是单个市场，而是产业间的相互依存

第2章的积分是一条曲线下的面积。若各种商品互为中间品，按产业分别加总这些面积得不到总产出。本章复习 $(I-A)^{-1}$ 为何能闭合这种循环。

1. 最终需求与总产出不是同一个向量

中间投入系数矩阵 $A$ 的 $(i,j)$ 元素，是生产1单位j所需的i的数量。若最终需求为 $d$ ，总产出 $x$ 必须同时满足中间需求 $Ax$ 和最终需求。

列昂惕夫体系

x = Ax + d \quad \Rightarrow \quad x = (I-A)^{-1}d

逆矩阵的每一列表示:为满足该产业1单位最终需求，所有产业需要运转多少。

若 $A=[[0.2,0.3],[0.1,0.4]]$ ， $d=(100,80)$ ，则 $I-A=[[0.8,-0.3],[-0.1,0.6]]$ 。行列式为 $0.48-0.03=0.45$ ，逆矩阵为 $(1/0.45)[[0.6,0.3],[0.1,0.8]]$ 。总产出为 $(84/0.45, 74/0.45)$ ，约为 $(186.7, 164.4)$ 个，大于最终需求的100个和80个。差额就是中间品的循环。

2. 有逆矩阵不等于技术可行

矩阵在经济学中的作用
对象	表达式	失效的情形
投入产出	(I-A)^{-1}d	霍金斯—西蒙条件不成立，谱半径大于等于1
两种商品的比较静态	雅可比矩阵的符号	超出局部线性化范围
投资组合	协方差矩阵	奇异矩阵、完全相关

霍金斯—西蒙条件要求 $(I-A)$ 的各阶顺序主子式为正。能代入数字，不等于这项技术是有生产力的。比较静态中的雅可比矩阵，是第1章导数的多变量版本。协方差矩阵在公司财务(韩文)中被解读为风险。

韩国银行的产业关联表把这个2×2扩展到数十个产业，算术相同。若分类或进口处理方式改变，即使 $d$ 相同， $x$ 也会变化。

练习题

在上面的 $A$ 中，若只有第二个产业的最终需求从80增加20到100，用逆矩阵第二列 $(1/0.45)(0.3, 0.8) \approx (0.667, 1.778)$ 乘以20，总产出分别增加约13.3个和35.6个。只增加了第二个产业的需求，第一个产业也随之增加13.3个。若没有中间品联系，第一个产业的增量应为0。

参考资料

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 15–16
Wassily Leontief, Input-Output Economics
韩国银行，产业关联表(韩文)