Mathématiques pour économistes — Matrices et analyse entrées-sorties

Mathématiques pour économistes — les matrices résolvent d’un coup l’interdépendance des branches, pas un seul marché

L’intégrale du chapitre 2 est l’aire sous une seule courbe. Quand les biens s’utilisent mutuellement comme consommations intermédiaires, additionner ces aires branche par branche ne donne pas la production totale. Ce chapitre rappelle pourquoi $(I-A)^{-1}$ referme cette boucle.

1. Demande finale et production totale ne sont pas le même vecteur

L’élément $(i,j)$ de la matrice des coefficients techniques $A$ est la quantité de i nécessaire pour produire une unité de j. Si la demande finale est $d$ , la production totale $x$ doit satisfaire à la fois la demande intermédiaire $Ax$ et la demande finale.

Système de Leontief

x = Ax + d \quad \Rightarrow \quad x = (I-A)^{-1}d

Chaque colonne de l'inverse indique combien toutes les branches doivent produire pour satisfaire une unité de demande finale adressée à cette branche.

Avec $A=[[0{,}2;0{,}3],[0{,}1;0{,}4]]$ et $d=(100;80)$ , $I-A=[[0{,}8;-0{,}3],[-0{,}1;0{,}6]]$ . Le déterminant vaut $0{,}48-0{,}03=0{,}45$ . L’inverse est $(1/0{,}45)[[0{,}6;0{,}3],[0{,}1;0{,}8]]$ . La production totale est $(84/0{,}45 ; 74/0{,}45)$ , soit environ $(186{,}7 ; 164{,}4)$ unités, davantage que la demande finale de 100 et 80 unités. L’écart est la circulation des consommations intermédiaires.

2. Avoir un inverse ne rend pas une technique viable

Ce que font les matrices en économie
Objet	Expression	Quand cela échoue
Entrées-sorties	(I-A)^{-1}d	Échec de Hawkins–Simon, rayon spectral supérieur ou égal à 1
Statique comparative à deux biens	Signes du jacobien	Hors de la linéarisation locale
Portefeuille	Matrice de covariance	Matrice singulière, corrélation parfaite

La condition de Hawkins–Simon exige que les mineurs principaux dominants de $(I-A)$ soient positifs. Pouvoir y introduire des nombres n’est pas la même chose que disposer d’une technique productive. Le jacobien de la statique comparative est la version à plusieurs variables des dérivées du chapitre 1. La matrice de covariance est ce que la finance d’entreprise (en coréen) lit comme du risque.

Les tableaux entrées-sorties de la Banque de Corée étendent ce 2×2 à des dizaines de branches. L’arithmétique est la même. Si la nomenclature ou le traitement des importations change, $x$ change même pour un même $d$ .

Exercice

Avec la matrice $A$ ci-dessus, si seule la demande finale de la deuxième branche augmente de 20, de 80 à 100, on multiplie la deuxième colonne de l’inverse, $(1/0{,}45)(0{,}3 ; 0{,}8) \approx (0{,}667 ; 1{,}778)$ , par 20 : la production totale augmente d’environ 13,3 et 35,6 unités. Seule la demande de la deuxième branche a augmenté, et pourtant la première produit 13,3 unités de plus. Sans liens intermédiaires, ce chiffre serait 0.

Références

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 15–16
Wassily Leontief, Input-Output Economics
Banque de Corée, Tableaux entrées-sorties (en coréen)