Mathématiques pour économistes — Intégration et reconstitution des surplus et des totaux

Mathématiques pour économistes — l’intégration additionne de nouveau les marges

Si le chapitre 1 lisait la marge par la dérivée, ce chapitre additionne ces marges pour retrouver les totaux et les surplus. Les matrices qui résolvent d’un coup l’interdépendance des branches sont au chapitre 5, et l’optimisation sous contrainte au chapitre 3.

1. Une intégrale définie est une aire, et cette aire est un surplus

Avec une demande $P=100-Q$ et un prix de 40 wons, la quantité échangée est de 60. Le surplus du consommateur vaut $\int_0^{60} (100-Q-40)\,dQ = [60Q - Q^2/2]_0^{60} = 1800$ wons.

Si l’offre est $P=10+Q$ , le surplus du producteur au même prix vaut $\int_0^{60} (40-(10+Q))\,dQ = 900$ wons, et le surplus total 2 700 wons. Quand une taxe s’applique, la perte sèche est retranchée de cette aire. Le chapitre de microéconomie sur la fiscalité utilise ce schéma.

Coût variable et coût marginal

TVC(Q) = \int_0^Q MC(q)\,dq

Si MC=6+2q, alors TVC=6Q+Q^2. Le coût fixe demeure comme constante d'intégration ; l'intégration seule ne peut pas le restituer.

2. La constante de l’intégrale indéfinie est, en économie, le coût fixe

Le théorème fondamental de l’analyse dit que $\frac{d}{dQ}\int_0^Q \mathrm{MC}(q)\,dq = \mathrm{MC}(Q)$ . On passe de la marge au total, puis on revient à la marge. Mais si $+C$ n’est pas observé, le niveau du coût total reste inconnu. Si les données ne contiennent que la courbe de coût marginal, le coût fixe doit être apporté séparément par la comptabilité ou l’expérience.

Ce que l'intégration restitue et ce qu'elle ne restitue pas
Fonction intégrée	Ce qu'on obtient	Ce qu'on n'obtient pas
Prix de demande	Surplus du consommateur	Une décomposition exacte des effets revenu
Coût marginal	Coût variable	Le coût fixe C
Utilité marginale	Écarts d'utilité	Le niveau d'utilité à l'origine

La log-linéarisation $d \ln Y = \varepsilon\, d \ln X$ transforme les élasticités en sommes. C’est le point de départ de la comptabilité de la croissance. Là où ces élasticités rencontrent les multiplicateurs de l’optimisation sous contrainte, c’est le chapitre 3.

Exercice

Avec une demande $P=80-2Q$ et un prix de 20 wons, quel est le surplus du consommateur ? $Q=30$ et $\int_0^{30} (80-2q-20)\,dq = [60q - q^2]_0^{30} = 1800-900 = 900$ wons. Si le prix baisse à 10 wons, $80-2Q=10$ donne $Q=35$ , et $\int_0^{35} (70-2q)\,dq = 70×35 - 35^2 = 2450-1225 = 1225$ wons. L’aire intègre à la fois la baisse du prix et la hausse de la quantité.

Références

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 13–14
Hal Varian, Intermediate Microeconomics, ch. 14
Carl Simon and Lawrence Blume, Mathematics for Economists