経済数学 — 行列と産業連関

経済数学 — 行列は一つの市場ではなく、産業間の依存関係を一度に解く

第2章の積分は、一本の曲線の下の面積である。財が互いを中間財として使うなら、その面積を産業ごとに別々に足しても総産出にはならない。この章では、 $(I-A)^{-1}$ がその循環を閉じる理由を復習する。

1. 最終需要と総産出は同じベクトルではない

中間投入係数行列 $A$ の $(i,j)$ 成分は、jを1単位作るのに必要なiの量である。最終需要が $d$ なら、総産出 $x$ は中間需要 $Ax$ と最終需要を同時に満たさなければならない。

レオンチェフ体系

x = Ax + d \quad \Rightarrow \quad x = (I-A)^{-1}d

逆行列の各列は、その産業の最終需要1単位をまかなうために、全産業がどれだけ動かなければならないかを示す。

$A=[[0.2,0.3],[0.1,0.4]]$ 、 $d=(100,80)$ なら、 $I-A=[[0.8,-0.3],[-0.1,0.6]]$ である。行列式は $0.48-0.03=0.45$ 、逆行列は $(1/0.45)[[0.6,0.3],[0.1,0.8]]$ である。総産出は $(84/0.45, 74/0.45)$ 、およそ $(186.7, 164.4)$ 個で、最終需要の100個と80個より大きい。その差が中間財の循環である。

2. 逆行列があるからといって、技術が成り立つわけではない

行列が経済学でする仕事
対象	式	失敗するとき
産業連関	(I-A)^{-1}d	ホーキンス=サイモン条件の不成立、スペクトル半径が1以上
2財の比較静学	ヤコビアンの符号	局所的な線形化の外
ポートフォリオ	共分散行列	特異行列、完全相関

ホーキンス=サイモン条件は、 $(I-A)$ の首座小行列式がすべて正であることを求める。数字を入れられることと、その技術が生産的であることは別である。比較静学のヤコビアンは、第1章の微分の多変数版である。共分散行列は、企業財務がリスクとして読む。

韓国銀行の産業連関表は、この2×2を数十の産業に拡張した表である。算術は同じである。分類や輸入の扱いが変われば、同じ $d$ でも $x$ は変わる。

確認問題

上の $A$ で、2番目の産業の最終需要だけが80から100へ20増えれば、逆行列の2列目 $(1/0.45)(0.3, 0.8) \approx (0.667, 1.778)$ に20を掛けて、総産出は約13.3個と35.6個増える。2番目の産業だけを増やしたのに、1番目も13.3個増える。中間財のつながりがなければ、1番目は0のはずである。

参考資料

Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 15–16
Wassily Leontief, Input-Output Economics
韓国銀行、産業連関表(韓国語)