第2章. CFA备考 — 定量方法：统计学与概率论

为什么定量方法至关重要？

定量方法是CFA Level I中失分率最高的科目之一，但同时也是后续所有科目的基础。掌握好这一章，不仅能在本科目拿分，还能为权益、固定收益、组合管理打下坚实基础。

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描述统计

集中趋势

• 算术平均值：最常用，但对异常值敏感
• 几何平均值：计算多期复合收益率，公式：G = (∏(1+Rₜ))^(1/n) − 1
• 调和平均值：适用于平均单位成本计算（如定额投资策略）
• 中位数：对异常值不敏感，适合偏态分布

离散程度

• 方差（σ²）：偏差平方的平均值
• 标准差（σ）：方差的平方根，最常用的风险度量
• 变异系数（CV）= σ / μ：单位均值的风险，可比较不同均值的资产

分布形态

• 偏度（Skewness）：正偏（右尾长）vs. 负偏（左尾长）
• 峰度（Kurtosis）：超额峰度 > 0为尖峰厚尾，金融收益率典型特征

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概率论基础

基本概念

• 联合概率：P(A∩B) = P(A|B) × P(B)
• 全概率公式：P(A) = ∑P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)
• 贝叶斯定理：P(B|A) = P(A|B)×P(B) / P(A)

期望值与方差

• 期望值：E(X) = ∑xᵢP(xᵢ)
• 方差：Var(X) = E[(X−μ)²] = ∑(xᵢ−μ)²P(xᵢ)
• 协方差：Cov(X,Y) = E[(X−μₓ)(Y−μᵧ)]
• 相关系数：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σₓ × σᵧ)

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重要分布

分布	特征	CFA应用
正态分布	对称，均值=中位数=众数	参数化VaR，假设检验
对数正态分布	右偏，下限为0	资产价格建模
学生t分布	比正态有更厚的尾部	小样本均值检验
二项分布	离散，n次试验k次成功	违约计数，期权二叉树

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假设检验

步骤

1. 陈述H₀（零假设）和H₁（备择假设）
2. 选择检验统计量（z或t）
3. 确定显著性水平（α = 5%或1%）
4. 计算检验统计量
5. 与临界值比较，做出结论

常见错误

• 第一类错误（α）：错误地拒绝真实的H₀（假阳性）
• 第二类错误（β）：错误地接受错误的H₀（假阴性）
• p值：在H₀成立条件下，观察到当前结果（或更极端）的概率

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考点总结

• 几何平均值 < 算术平均值（除非所有值相等）
• 金融收益率：负偏度 + 超额正峰度（厚尾）
• 相关系数范围：−1 ≤ ρ ≤ +1
• α = 5%时，双尾z检验临界值：±1.96

第3章将讲解经济学——微观经济学基础与宏观经济指标。